ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть D(f) = [-4; 1] — область определения функции у = f(x). Найдите область определения функции:

а) $y = 15x — f(x);$

б) $y = \frac{7 + 4f(x)}{2 — x};$

в) $y = \frac{7 + 4f(x)}{4 + x};$

г) $y = \frac{x — 3f(x)}{4 — x^2};$

$y = f(x), \, D(f) = [-4; 1];$

а) $y = 15x — f(x);$
$D(y) = D(f) = [-4; 1];$

б) $y = \frac{7 + 4f(x)}{2 — x};$
Выражение имеет смысл при:
$2 — x \neq 0;$
$x \neq 2;$
$D(y) = D(f) \cap ((-\infty; 2) \cup (2; +\infty));$
$D(y) = [-4; 1];$

в) $y = \frac{7 + 4f(x)}{4 + x};$
Выражение имеет смысл при:
$4 + x \neq 0;$
$x \neq -4;$
$D(y) = D(f) \cap ((-\infty; -4) \cup (-4; +\infty));$
$D(y) = (-4; 1];$

г) $y = \frac{x — 3f(x)}{4 — x^2};$
Выражение имеет смысл при:
$4 — x^2 \neq 0;$
$x^2 \neq 4;$
$x \neq \pm 2;$
$D(y) = D(f) \cap ((-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty));$
$D(y) = (-4; -2) \cup (-2; 1]$

Дано, что $y = f(x)$, и область определения функции $f(x)$ задана как $D(f) = [-4; 1]$. Задача состоит в нахождении области определения различных выражений, которые зависят от $f(x)$, а также в детальном объяснении всех шагов.

а) $y = 15x — f(x);$

Шаг 1: Определение области определения $D(y)$:

• Мы имеем линейную функцию $15x$, которая определена для всех $x \in \mathbb{R}$.
• Функция $f(x)$ задана на интервале $D(f) = [-4; 1]$.
• Операция вычитания также не накладывает дополнительных ограничений, так как вычитание функции $f(x)$ из выражения $15x$ не влияет на область определения.

Таким образом, область определения $D(y)$ совпадает с областью определения $f(x)$, то есть $D(y) = D(f) = [-4; 1]$.

Ответ:

$$D(y) = [-4; 1]$$

б) $y = \frac{7 + 4f(x)}{2 — x};$

Шаг 1: Определение области определения $D(y)$:

• Мы имеем дробь, и чтобы она была определена, знаменатель не должен равняться нулю. Таким образом, $2 — x \neq 0$, что приводит к условию:

  $$x \neq 2.$$

• Функция $f(x)$ задана на интервале $[-4; 1]$, то есть область определения $f(x)$ — это $D(f) = [-4; 1]$.
• Таким образом, область определения функции $y$ — это пересечение области определения функции $f(x)$ с областью определения дроби, то есть $D(y) = D(f) \cap ((-\infty; 2) \cup (2; +\infty))$.

Поскольку $D(f) = [-4; 1]$ и этот интервал полностью лежит в области $(-\infty; 2)$, то пересечение этих двух множеств даёт:

$$D(y) = [-4; 1].$$

Ответ:

$$D(y) = [-4; 1].$$

в) $y = \frac{7 + 4f(x)}{4 + x};$

Шаг 1: Определение области определения $D(y)$:

• В данном выражении также присутствует дробь. Чтобы она была определена, знаменатель не должен равняться нулю. То есть:

  $$4 + x \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -4.$$

• Функция $f(x)$ задана на интервале $[-4; 1]$, то есть $D(f) = [-4; 1]$.
• Таким образом, область определения функции $y$ — это пересечение области определения функции $f(x)$ с областью определения дроби, то есть $D(y) = D(f) \cap ((-\infty; -4) \cup (-4; +\infty))$.

Поскольку $D(f) = [-4; 1]$, а точка $x = -4$ исключена из области определения функции $y$, то пересечение этих двух множеств даёт:

$$D(y) = (-4; 1].$$

Ответ:

$$D(y) = (-4; 1].$$

г) $y = \frac{x — 3f(x)}{4 — x^2};$

Шаг 1: Определение области определения $D(y)$:

• В данном выражении снова присутствует дробь. Чтобы она была определена, знаменатель не должен равняться нулю. То есть:

  $$4 — x^2 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \neq 4 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pm 2.$$

• Таким образом, значение $x$ не может быть равно $2$ и $-2$, так как при этих значениях знаменатель будет равен нулю.
• Функция $f(x)$ задана на интервале $[-4; 1]$, то есть $D(f) = [-4; 1]$.
• Таким образом, область определения функции $y$ — это пересечение области определения функции $f(x)$ с областью определения дроби, то есть $D(y) = D(f) \cap ((-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty))$.

Поскольку $D(f) = [-4; 1]$, исключая значения $x = \pm 2$, пересечение этих двух множеств даёт:

$$D(y) = (-4; -2) \cup (-2; 1].$$

Ответ:

$$D(y) = (-4; -2) \cup (-2; 1].$$

Итоговые ответы:

• а) $D(y) = [-4; 1]$
• б) $D(y) = [-4; 1]$
• в) $D(y) = (-4; 1]$
• г) $D(y) = (-4; -2) \cup (-2; 1]$