ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.35 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть $D(f) = [-5; 10]$. Найдите область определения функции:

а) $y = f(-x);$
б) $y = |f(-x)|;$
в) $y = f(|-x|);$
г) $y = f(-|x|).$

$y = f(x), D(f) = [-5; 10];$

а) $y = f(-x);$

$$-5 \leq x \leq 10;$$ $$-10 \leq -x \leq 5;$$

Ответ: $D(y) = [-10; 5].$

б) $y = |f(-x)|;$

$$-5 \leq x \leq 10;$$ $$-10 \leq -x \leq 5;$$

Ответ: $D(y) = [-10; 5].$

в) $y = f(|-x|);$

Если $x \geq 0$, тогда $|-x| = |x| = x$:

$$0 \leq x \leq 10;$$

Если $x \leq 0$, тогда $|-x| = |x| = -x$:

$$0 \leq -x \leq 10;$$ $$-10 \leq x \leq 0;$$

В общем случае имеем:

$$-10 \leq |-x| \leq 10;$$

Ответ: $D(y) = [-10; 10].$

г) $y = f(-|x|);$

Если $x \geq 0$, тогда $-|x| = -x$:

$$-5 \leq -x \leq 10;$$ $$-10 \leq x \leq 5;$$ $$0 \leq x \leq 5;$$

Если $x \leq 0$, тогда $-|x| = x$:

$$-5 \leq x \leq 10;$$ $$-5 \leq x \leq 0;$$

В общем случае имеем:

$$-5 \leq -|x| \leq 5;$$

Ответ: $D(y) = [-5; 5].$

Дано, что $y = f(x)$, и область определения функции $f(x)$ задана как $D(f) = [-5; 10]$. Задача состоит в нахождении области определения различных выражений, которые зависят от $f(x)$, а также в детальном объяснении всех шагов.

а) $y = f(-x);$

Шаг 1: Определение области определения $D(y)$:

• Функция $f(x)$ определена на интервале $[-5; 10]$, то есть $D(f) = [-5; 10]$.
• Мы имеем выражение $f(-x)$, то есть функция $f$ применена к $-x$. Чтобы $f(-x)$ была определена, аргумент $-x$ должен принадлежать области определения функции $f(x)$.
• Для того чтобы $-x$ попадало в область $[-5; 10]$, $x$ должен лежать в интервале $[-10; 5]$, так как:

  $$-5 \leq -x \leq 10 \quad \text{при} \quad -10 \leq x \leq 5.$$

Таким образом, область определения функции $y = f(-x)$ — это интервал $[-10; 5]$.

Ответ:

$$D(y) = [-10; 5].$$

б) $y = |f(-x)|;$

Шаг 1: Определение области определения $D(y)$:

• Функция $f(x)$ задана на интервале $[-5; 10]$, то есть область её определения — это $D(f) = [-5; 10]$.
• Мы имеем выражение $f(-x)$, аналогично предыдущему пункту, аргумент $-x$ должен принадлежать области определения $f(x)$. То есть:

  $$-5 \leq -x \leq 10 \quad \text{или} \quad -10 \leq x \leq 5.$$

• После этого применяем операцию взятия модуля $|f(-x)|$, но это не изменяет область определения, так как модуль не накладывает дополнительных ограничений на $x$.

Таким образом, область определения функции $y = |f(-x)|$ — это также интервал $[-10; 5]$.

Ответ:

$$D(y) = [-10; 5].$$

в) $y = f(|-x|);$

Шаг 1: Определение области определения $D(y)$:

• Рассмотрим выражение $f(|-x|)$. Здесь сначала применяется операция взятия модуля к выражению $-x$, а затем к полученному результату применяется функция $f$.

Если $x \geq 0$:

В этом случае $|-x| = |x| = x$, то есть $f(|-x|) = f(x)$, и $x$ должно принадлежать области определения функции $f(x)$. Поскольку $f(x)$ определена на интервале $[-5; 10]$, то $x$ должно быть в пределах от $0$ до $10$, то есть:

$$0 \leq x \leq 10.$$

Если $x \leq 0$:

В этом случае $|-x| = |x| = -x$, то есть $f(|-x|) = f(-x)$. Поскольку $f(x)$ определена на интервале $[-5; 10]$, то $-x$ должно попадать в интервал $[-5; 10]$, и это приведет к следующему условию:

$$-10 \leq x \leq 0.$$

Общий случай:

Таким образом, для всех значений $x$ функция $f(|-x|)$ будет определена на интервале от $-10$ до $10$, так как для $x \geq 0$ мы получаем интервал $[0; 10]$, а для $x \leq 0$ — интервал $[-10; 0]$.

Таким образом, область определения функции $y = f(|-x|)$ — это объединение интервалов $[-10; 0]$ и $[0; 10]$, что в сумме даёт:

$$D(y) = [-10; 10].$$

Ответ:

$$D(y) = [-10; 10].$$

г) $y = f(-|x|);$

Шаг 1: Определение области определения $D(y)$:

• Рассмотрим выражение $f(-|x|)$. Здесь сначала берется модуль от $x$, а затем применяем операцию умножения на $-1$. После этого результат подставляется в функцию $f(x)$.

Если $x \geq 0$:

В этом случае $|x| = x$, и $-|x| = -x$, то есть функция $y = f(-x)$. Для того чтобы $f(-x)$ была определена, $-x$ должно быть в интервале $[-5; 10]$. То есть:

$$-10 \leq -x \leq 5 \quad \Rightarrow \quad -5 \leq x \leq 5.$$

Если $x \leq 0$:

В этом случае $|x| = -x$, и $-|x| = x$, то есть функция $y = f(x)$. Поскольку $f(x)$ определена на интервале $[-5; 10]$, то $x$ должно принадлежать интервалу $[-5; 0]$.

Общий случай:

Таким образом, область определения функции $y = f(-|x|)$ будет ограничена интервалом $[-5; 5]$, так как для $x \geq 0$ мы получаем интервал $[-5; 5]$, а для $x \leq 0$ область определения аналогична.

Ответ:

$$D(y) = [-5; 5].$$

Итоговые ответы:

• а) $D(y) = [-10; 5]$
• б) $D(y) = [-10; 5]$
• в) $D(y) = [-10; 10]$
• г) $D(y) = [-5; 5]$