ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.36 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть D(f) = [-2; 9]. Найдите область определения функции:

а) у = 4f(x — 1); в) у = 4 · f(x) — 1;

б) у = -4f(x + 11); г) у = -4 · f(x) + 11.

$y = f(x), D(f) = [-2; 9];$

а) $y = 4f(x — 1);$
График функции $y = f(x)$ сдвигается на 1 единицу вправо;
Ответ: $D(y) = [-1; 10].$

б) $y = -4f(x + 11);$
График функции $y = f(x)$ сдвигается на 11 единиц влево;
Ответ: $D(y) = [-13; -2].$

в) $y = 4 \cdot f(x) — 1;$
Область определения функции $y = f(x)$ не изменится;
Ответ: $D(y) = [-2; 9].$

г) $y = -4 \cdot f'(x) + 11;$
Область определения функции $y = f(x)$ не изменится;
Ответ: $D(y) = [-2; 9].$

$y = f(x), D(f) = [-2; 9];$

Задана функция $y = f(x)$, для которой область определения $D(f)$ равна отрезку $[-2; 9]$. Теперь будем рассматривать изменения, происходящие с областью определения в зависимости от преобразований функции.

а) $y = 4f(x — 1)$

Шаг 1. Анализируем форму преобразования. Мы видим, что на функции $f(x)$ применяется два типа преобразований:

• Множитель 4: Это растяжение графика функции по вертикали, но оно не влияет на область определения, так как изменение масштаба функции не изменяет промежуток значений $x$, на которых функция определена.
• Сдвиг $(x — 1)$: Этот сдвиг указывает на смещение графика функции на 1 единицу вправо.

Шаг 2. Изменение области определения.
Чтобы понять, как изменяется область определения, нужно учесть, что сдвиг на $x — 1$ означает, что значение $x$ в функции $f(x)$ сдвигается на 1 единицу вправо. То есть, если в исходной функции область определения $D(f) = [-2; 9]$, то после сдвига область будет изменена так, что каждый элемент области будет увеличен на 1. То есть:

$$D(y) = D(f) + 1 = [-2 + 1; 9 + 1] = [-1; 10].$$

Ответ:
$D(y) = [-1; 10].$

б) $y = -4f(x + 11)$

Шаг 1. Анализируем форму преобразования. Мы видим два компонента:

• Множитель -4: Это вертикальное растяжение функции на коэффициент 4, с инверсией (умножение на -1), но это также не влияет на область определения, так как вертикальные преобразования изменяют только значения функции $y$, но не значения $x$.
• Сдвиг $(x + 11)$: Этот сдвиг указывает на смещение графика функции на 11 единиц влево.

Шаг 2. Изменение области определения.
Сдвиг $x + 11$ означает, что значение $x$ должно быть уменьшено на 11 единиц. Таким образом, для функции $f(x)$ с областью определения $D(f) = [-2; 9]$, после сдвига на 11 единиц влево мы получим:

$$D(y) = D(f) — 11 = [-2 — 11; 9 — 11] = [-13; -2].$$

Ответ:
$D(y) = [-13; -2].$

в) $y = 4 \cdot f(x) — 1$

Шаг 1. Анализируем форму преобразования. Мы видим:

• Множитель 4: Это вертикальное растяжение функции на коэффициент 4, но это опять-таки не влияет на область определения.
• Вычитание 1: Это сдвиг функции вниз на 1 единицу, что не изменяет области определения, так как вертикальные сдвиги не влияют на промежутки значений $x$, где функция определена.

Шаг 2. Изменение области определения.
Поскольку вертикальные преобразования (умножение на число и вычитание константы) не изменяют область определения функции, то область определения функции $y = f(x)$ останется такой же, как и у исходной функции $f(x)$:

$$D(y) = D(f) = [-2; 9].$$

Ответ:
$D(y) = [-2; 9].$

г) $y = -4 \cdot f'(x) + 11$

Шаг 1. Анализируем форму преобразования. Мы видим:

• Производная $f'(x)$: Производная функции $f(x)$ имеет ту же область определения, что и сама функция $f(x)$, поскольку производная существует на тех же интервалах, что и сама функция.
• Множитель -4: Это вертикальное растяжение функции производной на коэффициент 4 с инверсией. Это влияет только на значения функции, но не на область определения.
• Сдвиг на 11 единиц вверх: Это вертикальный сдвиг функции, который также не влияет на область определения.

Шаг 2. Изменение области определения.
Поскольку все преобразования касаются вертикальных изменений функции, область определения функции производной $f'(x)$ останется такой же, как и у исходной функции $f(x)$. То есть:

$$D(y) = D(f) = [-2; 9].$$

Ответ:
$D(y) = [-2; 9].$

Итоговые ответы:

а) $D(y) = [-1; 10]$
б) $D(y) = [-13; -2]$
в) $D(y) = [-2; 9]$
г) $D(y) = [-2; 9]$