ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 3 — \sqrt{x — a}$ определена во всех точках отрезка $[-11; 7]$?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 3 — \sqrt{x — 3}$ определена во всех точках отрезка $[a — 1; a + 1]$?

а) $y = 3 — \sqrt{x — a}$ на отрезке $[-11; 7]$;

Выражение имеет смысл при:

$$x — a \geq 0;$$ $$x \geq a;$$

Ответ: $a \leq -11$.

б) $y = 3 — \sqrt{x — 3}$ на отрезке $[a — 1; a + 1]$;

Выражение имеет смысл при:

$$x — 3 \geq 0;$$ $$x \geq 3;$$

Значение параметра $a$:

$$a — 1 \geq 3;$$ $$a \geq 4;$$

Ответ: $a \geq 4$.

а) $y = 3 — \sqrt{x — a}$ на отрезке $[-11; 7]$

Шаг 1. Разбор выражения:
Выражение содержит квадратный корень $\sqrt{x — a}$. Чтобы квадратный корень имел смысл, выражение под корнем должно быть неотрицательным. То есть:

$$x — a \geq 0.$$

Шаг 2. Условие для $x$:
Для того чтобы $\sqrt{x — a}$ существовал, необходимо, чтобы $x — a \geq 0$, а значит:

$$x \geq a.$$

Это означает, что значение $x$ должно быть больше или равно $a$, чтобы квадратный корень был определён.

Шаг 3. Учёт области определения:
Заданный отрезок для переменной $x$ — это $[-11; 7]$. То есть $x$ изменяется от $-11$ до $7$. Чтобы квадратный корень имел смысл на этом отрезке, нужно, чтобы для всех $x$ из области $[-11; 7]$ выполнялось условие $x \geq a$.

Шаг 4. Нахождение диапазона для $a$:
Поскольку $x$ лежит на отрезке $[-11; 7]$, максимальное значение $x$, которое подходит для этого условия, — это $-11$. Чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным для всех значений $x$ на отрезке, $a$ должно быть меньше или равно $-11$. То есть:

$$a \leq -11.$$

Ответ:
$a \leq -11$.

б) $y = 3 — \sqrt{x — 3}$ на отрезке $[a — 1; a + 1]$

Шаг 1. Разбор выражения:
В данном выражении также присутствует квадратный корень $\sqrt{x — 3}$. Чтобы выражение имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x — 3 \geq 0.$$

Таким образом, условие для $x$ будет:

$$x \geq 3.$$

Это значит, что значение $x$ должно быть больше или равно 3, чтобы квадратный корень был определён.

Шаг 2. Условие для $x$ на отрезке $[a — 1; a + 1]$:
Теперь рассматриваем отрезок для $x$, который задан как $[a — 1; a + 1]$. В этом случае $x$ изменяется от $a — 1$ до $a + 1$. Чтобы выражение $\sqrt{x — 3}$ было определено для всех $x$ на этом отрезке, необходимо, чтобы минимальное значение $x$ из этого отрезка было не меньше 3. То есть:

$$a — 1 \geq 3.$$

Это условие гарантирует, что все значения $x$ на отрезке $[a — 1; a + 1]$ будут больше или равны 3, и квадратный корень будет определён для всех этих значений.

Шаг 3. Нахождение значения $a$:
Решим неравенство:

$$a — 1 \geq 3 \quad \Rightarrow \quad a \geq 4.$$

Ответ:
$a \geq 4$.

Итоговые ответы:

а) $a \leq -11$
б) $a \geq 4$