ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.38 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра $a$, при которых областью определения функции $y = \sqrt{x — 3} + \sqrt{ax + 4}$ будет:

а) луч;

б) отрезок;

в) единственное число (единственная точка);

г) пустое множество.

Дана функция:
$y = \sqrt{x — 3} + \sqrt{ax + 4};$

Выражение имеет смысл при:
$x — 3 \geq 0;$
$x \geq 3;$

Выражение имеет смысл при:
$ax + 4 \geq 0;$
$ax \geq -4;$

• Если $a < 0$, тогда: $x \leq -\frac{4}{a};$
• Если $a > 0$, тогда: $x \geq -\frac{4}{a};$

а) Областью определения является луч, если: $a \geq 0$.
Ответ: $a \geq 0$.

б) Областью определения является отрезок, если:
$a < 0 \text{ и } 3 < -\frac{4}{a};$
$3 < -\frac{4}{a};$
$3a > -4;$
$a > -\frac{4}{3};$
Ответ: $-\frac{4}{3} < a < 0$.

в) Областью определения является единственное число, если:
$a < 0 \text{ и } 3 = -\frac{4}{a};$
$3 = -\frac{4}{a};$
$3a = -4;$
$a = -\frac{4}{3};$
Ответ: $a = -\frac{4}{3}$.

г) Областью определения является пустое множество, если:
$a < 0 \text{ и } 3 > -\frac{4}{a};$
$3 > -\frac{4}{a};$
$3a < -4;$
$a < -\frac{4}{3};$
Ответ: $a < -\frac{4}{3}$.

Дана функция:

$$y = \sqrt{x — 3} + \sqrt{ax + 4}.$$

Для того чтобы функция $y$ была определена, оба выражения под квадратными корнями должны быть неотрицательными. Проанализируем каждое выражение поочередно и найдем область определения функции.

1) Выражение $\sqrt{x — 3}$

Чтобы квадратный корень был определен, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$x — 3 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 3.$$

Таким образом, для того чтобы первый корень был определен, необходимо, чтобы $x$ было больше или равно 3.

2) Выражение $\sqrt{ax + 4}$

Теперь рассмотрим второй квадратный корень $\sqrt{ax + 4}$. Для его определения необходимо, чтобы выражение под корнем было неотрицательным:

$$ax + 4 \geq 0.$$

Переносим 4 на другую сторону:

$$ax \geq -4.$$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака $a$:

• Если $a > 0$: в этом случае неравенство $ax \geq -4$ будет выполняться, когда $x \geq -\frac{4}{a}$. То есть для положительного $a$ функция будет определена при $x \geq -\frac{4}{a}$.
• Если $a < 0$: в этом случае неравенство $ax \geq -4$ будет выполняться, когда $x \leq -\frac{4}{a}$, потому что при $a < 0$ знак неравенства меняется.

Таким образом, для того чтобы второй квадратный корень был определен, $x$ должно быть больше или равно $-\frac{4}{a}$ при $a > 0$, и меньше или равно $-\frac{4}{a}$ при $a < 0$.

а) Областью определения является луч, если $a \geq 0$

Если $a \geq 0$, то для второго квадратного корня условие $ax + 4 \geq 0$ будет выполняться при $x \geq -\frac{4}{a}$, что при $a \geq 0$ даст область определения, начинающуюся от $x \geq 3$ (поскольку для первого корня нам нужно $x \geq 3$) и продолжающуюся в сторону бесконечности. Это и есть луч.

Ответ: $a \geq 0$.

б) Областью определения является отрезок, если $a < 0 \text{ и } 3 < -\frac{4}{a}$

Если $a < 0$, то для второго корня $\sqrt{ax + 4}$ мы получаем условие $x \leq -\frac{4}{a}$. То есть область определения будет ограничена сверху. Чтобы это ограничение сочеталось с ограничением $x \geq 3$ (для первого корня), необходимо, чтобы $-\frac{4}{a}$ было больше 3, то есть:

$$3 < -\frac{4}{a}.$$

Умножаем обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства изменится, потому что $a < 0$:

$$3a > -4.$$

Теперь делим обе части неравенства на 3:

$$a > -\frac{4}{3}.$$

Таким образом, область определения функции будет представлять собой отрезок, если $a < 0$ и $-\frac{4}{3} < a < 0$.

Ответ: $-\frac{4}{3} < a < 0$.

в) Областью определения является единственное число, если $a < 0 \text{ и } 3 = -\frac{4}{a}$

Теперь рассмотрим случай, когда $a < 0$, и $x = 3$ является точкой, в которой оба условия совпадают. Для этого требуется, чтобы $3 = -\frac{4}{a}$, что мы можем решить относительно $a$:

$$3a = -4 \quad \Rightarrow \quad a = -\frac{4}{3}.$$

При таком значении $a$ единственная точка, где оба корня определены, будет $x = 3$. Таким образом, область определения функции будет состоять из одной точки $x = 3$.

Ответ: $a = -\frac{4}{3}$.

г) Областью определения является пустое множество, если $a < 0 \text{ и } 3 > -\frac{4}{a}$

Если $a < 0$, то для второго корня мы получаем условие $x \leq -\frac{4}{a}$, и если при этом $3 > -\frac{4}{a}$, то не существует значений $x$, которые одновременно удовлетворяют условиям для обоих корней. Решим это неравенство:

$$3 > -\frac{4}{a}.$$

Умножаем обе части неравенства на $a$, при этом знак неравенства изменится, так как $a < 0$:

$$3a < -4.$$

Теперь делим обе части на 3:

$$a < -\frac{4}{3}.$$

Таким образом, при $a < -\frac{4}{3}$ область определения будет пустым множеством.

Ответ: $a < -\frac{4}{3}$.

Итоговые ответы:

• а) Областью определения является луч, если: $a \geq 0$.
  Ответ: $a \geq 0$.
• б) Областью определения является отрезок, если:
  $-\frac{4}{3} < a < 0$.
  Ответ: $-\frac{4}{3} < a < 0$.
• в) Областью определения является единственное число, если:
  $a = -\frac{4}{3}$.
  Ответ: $a = -\frac{4}{3}$.
• г) Областью определения является пустое множество, если:
  $a < -\frac{4}{3}$.
  Ответ: $a < -\frac{4}{3}$.