ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что, если число $b$ принадлежит области определения функции $y = \sqrt{x^4 — 7x + 3} — \sqrt{x^4 + 7x + 3}$, то и число $(-b)$ принадлежит этой области.

б) Докажите, что, если число $b$ не принадлежит области определения функции $y = \sqrt{x^5 — x + 3} + 3\sqrt{-x^5 + x + 3}$, то и число $(-b)$ не принадлежит этой области.

а) $y = \sqrt{x^4 — 7x + 3} — \sqrt{x^4 + 7x + 3}$;

Пусть $f(x) = x^4 — 7x + 3$ и $g(x) = x^4 + 7x + 3$, тогда:

$$f(-b) = (-b)^4 — 7(-b) + 3 = b^4 + 7b + 3 = g(b);$$ $$g(-b) = (-b)^4 + 7(-b) + 3 = b^4 — 7b + 3 = f(b);$$

Функция принимает значения:

$$y(b) = \sqrt{f(b)} — \sqrt{g(b)} = \sqrt{f(b)} — \sqrt{f(-b)};$$ $$y(-b) = \sqrt{f(-b)} — \sqrt{g(-b)} = \sqrt{f(-b)} — \sqrt{f(b)};$$

Таким образом, если $b \in D(y)$, тогда и $(-b) \in D(y)$, что и требовалось доказать.

б) $y = \sqrt{x^5 — x + 3} + 3\sqrt{-x^5 + x + 3}$;

Пусть $f(x) = x^5 — x + 3$ и $g(x) = -x^5 + x + 3$, тогда:

$$f(-b) = (-b)^5 — (-b) + 3 = -b^5 + b + 3 = g(b);$$ $$g(-b) = -(-b)^5 + (-b) + 3 = b^5 — b + 3 = f(b);$$

Функция принимает значения:

$$y(b) = \sqrt{f(b)} + 3\sqrt{g(b)} = \sqrt{f(b)} + 3\sqrt{f(-b)};$$ $$y(-b) = \sqrt{f(-b)} + 3\sqrt{g(-b)} = \sqrt{f(-b)} + 3\sqrt{f(b)};$$

Таким образом, если $b \notin D(y)$, тогда и $(-b) \notin D(y)$, что и требовалось доказать.

а) $y = \sqrt{x^4 — 7x + 3} — \sqrt{x^4 + 7x + 3}$

Шаг 1. Описание функции

У нас есть функция, которая состоит из разности двух квадратных корней:

$$y = \sqrt{x^4 — 7x + 3} — \sqrt{x^4 + 7x + 3}.$$

Чтобы определить область определения этой функции, необходимо, чтобы оба выражения под квадратными корнями были неотрицательными, так как квадратный корень можно вычислить только для неотрицательных чисел.

Обозначим два выражения:

• $f(x) = x^4 — 7x + 3$
• $g(x) = x^4 + 7x + 3$

Шаг 2. Условия для области определения

1. Для первого квадратного корня $\sqrt{f(x)}$ выражение $f(x) = x^4 — 7x + 3$ должно быть неотрицательным:

   $$f(x) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^4 — 7x + 3 \geq 0.$$

2. Для второго квадратного корня $\sqrt{g(x)}$ выражение $g(x) = x^4 + 7x + 3$ должно быть неотрицательным:

   $$g(x) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^4 + 7x + 3 \geq 0.$$

Область определения функции $y = \sqrt{f(x)} — \sqrt{g(x)}$ будет пересечением областей, при которых оба подкоренных выражения $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны.

Шаг 3. Симметрия функции

Теперь давайте рассмотрим симметрию функции, используя значение функции при $x = -b$, где $b$ — произвольное число.

Подставим $x = -b$ в выражения $f(x)$ и $g(x)$:

• $f(-b) = (-b)^4 — 7(-b) + 3 = b^4 + 7b + 3$
• $g(-b) = (-b)^4 + 7(-b) + 3 = b^4 — 7b + 3$

Таким образом, мы получаем, что:

$$f(-b) = g(b) \quad \text{и} \quad g(-b) = f(b).$$

Это означает, что значения $f(x)$ и $g(x)$ имеют симметричную форму относительно $x = 0$.

Шаг 4. Значения функции

Теперь можно выразить функцию $y$ через $f(b)$ и $f(-b)$:

• Для $y(b)$, когда $x = b$, получаем:

  $$y(b) = \sqrt{f(b)} — \sqrt{g(b)} = \sqrt{f(b)} — \sqrt{f(-b)}.$$

• Для $y(-b)$, когда $x = -b$, получаем:

  $$y(-b) = \sqrt{f(-b)} — \sqrt{g(-b)} = \sqrt{f(-b)} — \sqrt{f(b)}.$$

Шаг 5. Заключение

Таким образом, мы доказали, что если $b \in D(y)$ (область определения функции $y$), то и $-b \in D(y)$. Это означает, что область определения функции $y$ симметрична относительно нуля.

Ответ для части (а):
Если $b \in D(y)$, тогда и $-b \in D(y)$, что и требовалось доказать.

б) $y = \sqrt{x^5 — x + 3} + 3\sqrt{-x^5 + x + 3}$

Шаг 1. Описание функции

Рассмотрим функцию:

$$y = \sqrt{x^5 — x + 3} + 3\sqrt{-x^5 + x + 3}.$$

Как и в предыдущем случае, для того чтобы эта функция была определена, оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.

Обозначим:

• $f(x) = x^5 — x + 3$
• $g(x) = -x^5 + x + 3$

Шаг 2. Условия для области определения

1. Для первого квадратного корня $\sqrt{f(x)}$ выражение $f(x) = x^5 — x + 3$ должно быть неотрицательным:

   $$f(x) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x^5 — x + 3 \geq 0.$$

2. Для второго квадратного корня $\sqrt{g(x)}$ выражение $g(x) = -x^5 + x + 3$ должно быть неотрицательным:

   $$g(x) \geq 0 \quad \Rightarrow \quad -x^5 + x + 3 \geq 0.$$

Область определения функции $y = \sqrt{f(x)} + 3\sqrt{g(x)}$ будет пересечением областей, при которых оба подкоренных выражения $f(x)$ и $g(x)$ неотрицательны.

Шаг 3. Симметрия функции

Теперь давайте рассмотрим симметрию функции, используя значение функции при $x = -b$.

Подставим $x = -b$ в выражения $f(x)$ и $g(x)$:

• $f(-b) = (-b)^5 — (-b) + 3 = -b^5 + b + 3 = g(b)$
• $g(-b) = -(-b)^5 + (-b) + 3 = b^5 — b + 3 = f(b)$

Таким образом, мы получаем, что:

$$f(-b) = g(b) \quad \text{и} \quad g(-b) = f(b).$$

Шаг 4. Значения функции

Теперь можно выразить функцию $y$ через $f(b)$ и $f(-b)$:

• Для $y(b)$, когда $x = b$, получаем:

  $$y(b) = \sqrt{f(b)} + 3\sqrt{g(b)} = \sqrt{f(b)} + 3\sqrt{f(-b)}.$$

• Для $y(-b)$, когда $x = -b$, получаем:

  $$y(-b) = \sqrt{f(-b)} + 3\sqrt{g(-b)} = \sqrt{f(-b)} + 3\sqrt{f(b)}.$$

Шаг 5. Заключение

Таким образом, если $b \notin D(y)$ (область определения функции $y$), то и $-b \notin D(y)$. Это означает, что область определения функции $y$ также симметрична относительно нуля, но наоборот: если одно из значений не входит в область определения, то и его противоположное значение тоже не будет входить в область.

Ответ для части (б):
Если $b \notin D(y)$, тогда и $-b \notin D(y)$, что и требовалось доказать.

Итог:

1. Часть (а): Если $b \in D(y)$, тогда и $-b \in D(y)$.
2. Часть (б): Если $b \notin D(y)$, тогда и $-b \notin D(y)$.