ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.40 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все такие числа $b$, принадлежащие области определения $D(f)$ функции $y = \frac{1 — \sqrt{2x^2 — 7x — 22}}{x + 30}$, для которых:

а) число $b + 1$ не принадлежит $D(f)$;

б) число $b — 1$ не принадлежит $D(f)$;

в) оба числа $b + 1$ и $b — 1$ принадлежат $D(f)$;

г) отрезок $[b + 1; b + 2]$ принадлежит $D(f)$.

Дана функция:

$$y = \frac{1 — \sqrt{2x^2 — 7x — 22}}{x + 30};$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x^2 — 7x — 22 \geq 0;$$

$D = 7^2 + 4 \cdot 2 \cdot 22 = 49 + 176 = 225$, тогда:

$$x_1 = \frac{7 — 15}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2;$$ $$x_2 = \frac{7 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = 5,5;$$ $$(x + 2)(x — 5,5) \geq 0;$$ $$x \leq -2 \text{ и } x \geq 5,5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 30 \neq 0;$$ $$x \neq -30;$$

Область определения функции:

$$D(y) = (-\infty; -30) \cup (-30; -2] \cup [5,5; +\infty);$$

а) Число $b \in D(y)$, а число $(b + 1) \notin D(y)$:

$$b + 1 = -30 \quad \Rightarrow \quad b = -31;$$

$$\begin{cases} b \leq -2 \\ b + 1 > -2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} b \leq -2 \\ b > -3 \end{cases}$$

Ответ: $b = -31; \, -3 < b \leq -2$.

б) Число $b \in D(y)$, а число $(b — 1) \notin D(y)$:

$$b — 1 = -30 \quad \Rightarrow \quad b = -29;$$

$$\begin{cases} b \geq 5,5 \\ b — 1 < 5,5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} b \geq 5,5 \\ b < 6,5 \end{cases}$$

Ответ: $b = -29; \, 5,5 \leq b < 6,5$.

в) Оба числа $(b — 1) \in D(y)$ и $(b + 1) \in D(y)$:

$$b + 1 \leq -2 \quad \Rightarrow \quad b \leq -3;$$

$$\begin{cases} b — 1 \neq -30 \\ b + 1 \neq -30 \\ b \neq -30 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} b \neq -29 \\ b \neq -31 \\ b \neq -30 \end{cases}$$

$$b — 1 \geq 5,5 \quad \Rightarrow \quad b \geq 6,5;$$

Ответ: $b \in (-\infty; -31) \cup (-31; -30) \cup (-30; -29) \cup (-29; -3] \cup [6,5; +\infty)$.

г) Отрезок $[b + 1; b + 2] \in D(y)$:

$$b + 2 < -30 \quad \Rightarrow \quad b < -32;$$

$$\begin{cases} b + 1 > -30 \\ b + 2 \leq -2 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} b > -31 \\ b \leq -4 \end{cases}$$

$$b + 1 \geq 5,5 \quad \Rightarrow \quad b \geq 4,5;$$

Ответ: $b \in (-\infty; -32) \cup (-31; -4] \cup [4,5; +\infty)$.

Дана функция:

$$y = \frac{1 — \sqrt{2x^2 — 7x — 22}}{x + 30}$$

Для того чтобы функция $y$ была определена, оба выражения под квадратными корнями должны быть неотрицательными, а знаменатель не равен нулю. Рассмотрим все шаги подробно.

Шаг 1. Условия для области определения

1.1. Условие для квадратного корня $\sqrt{2x^2 — 7x — 22}$

Чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо, чтобы:

$$2x^2 — 7x — 22 \geq 0.$$

Решим это неравенство.

Для этого сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 — 7x — 22 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a},$$

где $a = 2$, $b = -7$, $c = -22$.

Подставляем в формулу:

$$x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-22)}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 176}}{4} = \frac{7 \pm \sqrt{225}}{4}.$$

Так как $\sqrt{225} = 15$, получаем:

$$x_1 = \frac{7 — 15}{4} = \frac{-8}{4} = -2, \quad x_2 = \frac{7 + 15}{4} = \frac{22}{4} = 5,5.$$

Таким образом, корни уравнения — это $x_1 = -2$ и $x_2 = 5,5$.

Для неравенства $2x^2 — 7x — 22 \geq 0$ необходимо, чтобы $x$ лежал вне интервала между корнями, то есть:

$$x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq 5,5.$$

Или в виде интервала:

$$(-\infty; -2] \cup [5,5; +\infty).$$

1.2. Условие для знаменателя $x + 30 \neq 0$

Чтобы дробь была определена, знаменатель не должен быть равен нулю:

$$x + 30 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x \neq -30.$$

Таким образом, нам нужно исключить точку $x = -30$ из области определения.

Шаг 2. Область определения функции

Область определения функции $y$ будет пересечением двух условий:

1. $2x^2 — 7x — 22 \geq 0$, что даёт интервал $(-\infty; -2] \cup [5,5; +\infty)$,
2. $x \neq -30$, что исключает точку $x = -30$.

Таким образом, область определения функции $y$ будет:

$$D(y) = (-\infty; -30) \cup (-30; -2] \cup [5,5; +\infty).$$

а) Число $b \in D(y)$, а число $(b + 1) \notin D(y)$:

Из условия $(b + 1) \notin D(y)$ получаем:

$$b + 1 = -30 \quad \Rightarrow \quad b = -31.$$

Таким образом, $b = -31$ — это значение, при котором $b + 1$ выходит за пределы области определения.

Теперь проверим, что при $b = -31$ выполняется условие, что $b \in D(y)$. Поставим $b = -31$ в условие $x \in D(y)$:

• $b = -31$ лежит в интервале $(-\infty; -30)$, значит $b \in D(y)$.
• $b + 1 = -31 + 1 = -30$, и точка $x = -30$ исключена из области определения.

Ответ: $b = -31$; $-3 < b \leq -2$.

б) Число $b \in D(y)$, а число $(b — 1) \notin D(y)$:

Из условия $(b — 1) \notin D(y)$ получаем:

$$b — 1 = -30 \quad \Rightarrow \quad b = -29.$$

Таким образом, $b = -29$ — это значение, при котором $b — 1$ выходит за пределы области определения.

Теперь проверим, что при $b = -29$ выполняется условие, что $b \in D(y)$. Поставим $b = -29$ в условие $x \in D(y)$:

• $b = -29$ лежит в интервале $(-\infty; -30) \cup (-30; -2]$, значит $b \in D(y)$.
• $b — 1 = -29 — 1 = -30$, и точка $x = -30$ исключена из области определения.

Ответ: $b = -29$; $5,5 \leq b < 6,5$.

в) Оба числа $(b — 1) \in D(y)$ и $(b + 1) \in D(y)$:

Условие для $b + 1 \in D(y)$:

$$b + 1 \leq -2 \quad \Rightarrow \quad b \leq -3.$$

Условия для $b$:

$$b — 1 \neq -30 \quad \Rightarrow \quad b \neq -29,$$ $$b + 1 \neq -30 \quad \Rightarrow \quad b \neq -31,$$ $$b \neq -30.$$

Условие для $b — 1 \in D(y)$:

$$b — 1 \geq 5,5 \quad \Rightarrow \quad b \geq 6,5.$$

Ответ: $b \in (-\infty; -31) \cup (-31; -30) \cup (-30; -29) \cup (-29; -3] \cup [6,5; +\infty)$.

г) Отрезок $[b + 1; b + 2] \in D(y)$:

Условие для $b + 2 < -30$:

$$b + 2 < -30 \quad \Rightarrow \quad b < -32.$$

Условие для $b + 1 > -30$ и $b + 2 \leq -2$:

$$\begin{cases} b > -31, \\ b \leq -4. \end{cases}$$

Условие для $b + 1 \geq 5,5$:

$$b + 1 \geq 5,5 \quad \Rightarrow \quad b \geq 4,5.$$

Ответ: $b \in (-\infty; -32) \cup (-31; -4] \cup [4,5; +\infty)$.

Итоговые ответы:

а) $b = -31$; $-3 < b \leq -2$.

б) $b = -29$; $5,5 \leq b < 6,5$.

в) $b \in (-\infty; -31) \cup (-31; -30) \cup (-30; -29) \cup (-29; -3] \cup [6,5; +\infty)$.

г) $b \in (-\infty; -32) \cup (-31; -4] \cup [4,5; +\infty)$.