ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.41 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 1 — 2x$;

б) $y = 1 — 2x^2$;

в) $y = 3x^2 — 12x + 1$;

г) $y = -3x^2 — 12x + 1$, $x \in [-6; 1)$

а) $y = 1 — 2x$;
Функция задает прямую:
$k = -2 \neq 0$ — прямая не параллельна оси $Ox$;
Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = 1 — 2x^2$;
Функция задает параболу:
$x_0 = 0$ и $y_0 = 1$;
$a = -2 < 0$ — ветви направлены вниз;
Ответ: $E(f) = (-\infty; 1]$.

в) $y = 3x^2 — 12x + 1$;
Функция задает параболу:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = \frac{-(-12)}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$;
$y_0 = 3 \cdot 2^2 — 12 \cdot 2 + 1 = 12 — 24 + 1 = -11$;
$a = 3 > 0$ — ветви направлены вверх;
Ответ: $E(f) = [-11; +\infty)$.

г) $y = -3x^2 — 12x + 1$, $x \in [-6; 1)$;
Функция задает параболу:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{12}{6} = -2$;
Значения функции:
$y(-6) = -3 \cdot (-6)^2 — 12 \cdot (-6) + 1 = -108 + 72 + 1 = -35$;
$y(-2) = -3 \cdot (-2)^2 — 12 \cdot (-2) + 1 = -12 + 24 + 1 = 13$;
$y(1) = -3 \cdot 1^2 — 12 \cdot 1 + 1 = -3 — 12 + 1 = -14$;
Ответ: $E(f) = [-35; 13]$.

а) $y = 1 — 2x$

Это линейная функция, которая представляет собой прямую.

Шаг 1. Анализ коэффициента наклона

Для линейной функции общего вида $y = mx + b$, где:

• $m$ — коэффициент наклона (склонения прямой),
• $b$ — свободный член (пересечение с осью $y$),

в данном случае $y = 1 — 2x$, коэффициент наклона $k = -2$. Этот коэффициент указывает, что прямая имеет отрицательный наклон и не параллельна оси $Ox$, так как $k \neq 0$.

Шаг 2. Область значений

Поскольку это линейная функция, которая принимает все возможные значения $y$ для любого значения $x$, область значений функции будет всю числовую прямую:

$$E(f) = (-\infty; +\infty).$$

Ответ для части (а):
$E(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = 1 — 2x^2$

Это квадратичная функция, которая представляет собой параболу.

Шаг 1. Анализ формы параболы

Функция $y = 1 — 2x^2$ имеет форму параболы, так как присутствует квадрат переменной $x$.

1. $a = -2$, что означает, что парабола открывается вниз (так как $a < 0$).
2. Вершина параболы находится в точке $x_0 = 0$, так как квадратичный член не содержит линейного коэффициента (парабола симметрична относительно оси $y$).

Шаг 2. Нахождение координат вершины

Чтобы найти $y_0$, подставим $x_0 = 0$ в уравнение:

$$y_0 = 1 — 2(0)^2 = 1.$$

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(0, 1)$.

Шаг 3. Область значений

Так как парабола открывается вниз, её максимальное значение $y_0 = 1$ достигается в вершине, а затем значения функции уменьшаются. Область значений функции будет от $-\infty$ до вершины, включая её:

$$E(f) = (-\infty; 1].$$

Ответ для части (б):
$E(f) = (-\infty; 1]$.

в) $y = 3x^2 — 12x + 1$

Это также квадратичная функция, представляющая собой параболу.

Шаг 1. Нахождение координат вершины

Для функции вида $y = ax^2 + bx + c$, координаты вершины находятся по формуле:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}.$$

В нашем случае $a = 3$, $b = -12$. Подставляем в формулу:

$$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2.$$

Шаг 2. Нахождение значения функции в вершине

Теперь, подставим $x_0 = 2$ в исходное уравнение для нахождения $y_0$:

$$y_0 = 3 \cdot 2^2 — 12 \cdot 2 + 1 = 3 \cdot 4 — 24 + 1 = 12 — 24 + 1 = -11.$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, -11)$.

Шаг 3. Направление ветвей параболы

Так как $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Шаг 4. Область значений

Так как парабола открывается вверх, её минимальное значение $y_0 = -11$ находится в вершине, а затем значения функции увеличиваются. Область значений будет от вершины до $+\infty$:

$$E(f) = [-11; +\infty).$$

Ответ для части (в):
$E(f) = [-11; +\infty)$.

г) $y = -3x^2 — 12x + 1$, $x \in [-6; 1)$

Это квадратичная функция, представляющая собой параболу, но с ограничением на область определения $x$.

Шаг 1. Нахождение координат вершины

Для функции $y = ax^2 + bx + c$, координаты вершины по-прежнему находятся по формуле:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}.$$

В нашем случае $a = -3$, $b = -12$. Подставляем:

$$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = \frac{12}{-6} = -2.$$

Шаг 2. Нахождение значения функции в вершине

Теперь, подставим $x_0 = -2$ в уравнение функции для нахождения $y_0$:

$$y_0 = -3 \cdot (-2)^2 — 12 \cdot (-2) + 1 = -3 \cdot 4 + 24 + 1 = -12 + 24 + 1 = 13.$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, 13)$.

Шаг 3. Направление ветвей параболы

Так как $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз.

Шаг 4. Значения функции на отрезке $x \in [-6; 1)$

• Подставим $x = -6$ в уравнение:

$$y(-6) = -3 \cdot (-6)^2 — 12 \cdot (-6) + 1 = -3 \cdot 36 + 72 + 1 = -108 + 72 + 1 = -35.$$

• Подставим $x = 1$ (конечная точка интервала, но не включенная в область определения):

$$y(1) = -3 \cdot 1^2 — 12 \cdot 1 + 1 = -3 — 12 + 1 = -14.$$

Шаг 5. Область значений

На интервале $x \in [-6; 1)$, парабола принимает значения от $-35$ до $13$, включая $-35$, но не включая $13$, так как $x = 1$ не включено в область определения.

Область значений функции:

$$E(f) = [-35; 13].$$

Ответ для части (г):
$E(f) = [-35; 13]$.

Итоговые ответы:

• а) $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• б) $E(f) = (-\infty; 1]$.
• в) $E(f) = [-11; +\infty)$.
• г) $E(f) = [-35; 13]$.