ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.43 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = \sqrt{x} + 5$;

б) $y = 1 — 2\sqrt{3 — x}$;

в) $y = 2 — \sqrt{x + 3}$;

г) $y = -1 + 2\sqrt{-5 — 10x}$

а) $y = \sqrt{x} + 5$;
$x \geq 0$;
$\sqrt{x} \geq 0$;
$\sqrt{x} + 5 \geq 5$;
$y \geq 5$;
Ответ: $E(f) = [5; +\infty)$.

б) $y = 1 — 2\sqrt{3 — x}$;
$3 — x \geq 0$;
$\sqrt{3 — x} \geq 0$;
$-2\sqrt{3 — x} \leq 0$;
$1 — 2\sqrt{3 — x} \leq 1$;
$y \leq 1$;
Ответ: $E(f) = (-\infty; 1]$.

в) $y = 2 — \sqrt{x + 3}$;
$x + 3 \geq 0$;
$\sqrt{x + 3} \geq 0$;
$-\sqrt{x + 3} \leq 0$;
$2 — \sqrt{x + 3} \leq 2$;
$y \leq 2$;
Ответ: $E(f) = (-\infty; 2]$.

г) $y = -1 + 2\sqrt{-5 — 10x}$;
$-5 — 10x \geq 0$;
$\sqrt{-5 — 10x} \geq 0$;
$2\sqrt{-5 — 10x} \geq 0$;
$-1 + 2\sqrt{-5 — 10x} \geq -1$;
$y \geq -1$;
Ответ: $E(f) = [-1; +\infty)$.

а) $y = \sqrt{x} + 5$

Область определения функции:
Функция $y = \sqrt{x} + 5$ определена только для $x \geq 0$, так как подкоренное выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл только при $x \geq 0$.
Таким образом, для $x \geq 0$ функция определена, и область определения $x$ равна $[0; +\infty)$.

Нахождение значения функции:
Из самой функции $y = \sqrt{x} + 5$ видно, что $\sqrt{x} \geq 0$ при любом $x \geq 0$. Следовательно:

$$\sqrt{x} + 5 \geq 5.$$

То есть, минимальное значение функции $y$ — это 5, которое достигается при $x = 0$.

График функции:
График функции $y = \sqrt{x} + 5$ растет от значения 5, так как $\sqrt{x}$ увеличивается с ростом $x$. Поэтому функция принимает все значения, начиная от 5 и до бесконечности.

Ответ:
Ответ на вопрос о значении функции: $E(f) = [5; +\infty)$.

б) $y = 1 — 2\sqrt{3 — x}$

Область определения функции:
В этом случае функция содержит выражение $\sqrt{3 — x}$, которое имеет смысл только при $3 — x \geq 0$, то есть $x \leq 3$. Таким образом, область определения функции:

$$x \in (-\infty; 3].$$

Нахождение значения функции:
Рассмотрим, что происходит с функцией $y = 1 — 2\sqrt{3 — x}$ при разных значениях $x$:

• Для максимального значения $x = 3$, получаем:

  $$y = 1 — 2\sqrt{3 — 3} = 1 — 2(0) = 1.$$

• Для $x = 0$, получаем:

  $$y = 1 — 2\sqrt{3 — 0} = 1 — 2\sqrt{3} \approx 1 — 3.464 \approx -2.464.$$

  Мы видим, что $y$ убывает с ростом $x$, так как $\sqrt{3 — x}$ уменьшается с увеличением $x$.

График функции:
Поскольку подкоренное выражение $\sqrt{3 — x}$ всегда положительно, то весь выраженный множитель $-2\sqrt{3 — x}$ всегда отрицателен. Значение функции $y = 1 — 2\sqrt{3 — x}$ будет убывать от 1 до $-\infty$ по мере увеличения $x$.

Ответ:
Ответ на вопрос о значении функции: $E(f) = (-\infty; 1]$.

в) $y = 2 — \sqrt{x + 3}$

Область определения функции:
Функция содержит выражение $\sqrt{x + 3}$, которое имеет смысл только при $x + 3 \geq 0$, то есть $x \geq -3$. Таким образом, область определения функции:

$$x \in [-3; +\infty).$$

Нахождение значения функции:
Рассмотрим, что происходит с функцией $y = 2 — \sqrt{x + 3}$ при разных значениях $x$:

• Для минимального значения $x = -3$, получаем:

  $$y = 2 — \sqrt{-3 + 3} = 2 — 0 = 2.$$

• Для $x = 0$, получаем:

  $$y = 2 — \sqrt{0 + 3} = 2 — \sqrt{3} \approx 2 — 1.732 \approx 0.268.$$

  Мы видим, что $y$ уменьшается с ростом $x$, так как $\sqrt{x + 3}$ увеличивается с увеличением $x$.

График функции:
Функция $y = 2 — \sqrt{x + 3}$ убывает от 2, так как $\sqrt{x + 3}$ растет. Она будет принимать все значения, начиная от 2 и до $-\infty$.

Ответ:
Ответ на вопрос о значении функции: $E(f) = (-\infty; 2]$.

г) $y = -1 + 2\sqrt{-5 — 10x}$

Область определения функции:
В этой функции подкоренное выражение $\sqrt{-5 — 10x}$ имеет смысл, если $-5 — 10x \geq 0$, то есть $x \leq -\frac{1}{2}$. Таким образом, область определения функции:

$$x \in (-\infty; -\frac{1}{2}].$$

Нахождение значения функции:
Рассмотрим, что происходит с функцией $y = -1 + 2\sqrt{-5 — 10x}$ при разных значениях $x$:

• Для максимального значения $x = -\frac{1}{2}$, получаем:

  $$y = -1 + 2\sqrt{-5 — 10(-\frac{1}{2})} = -1 + 2\sqrt{0} = -1.$$

• Для $x = -1$, получаем:

  $$y = -1 + 2\sqrt{-5 — 10(-1)} = -1 + 2\sqrt{5} \approx -1 + 4.472 \approx 3.472.$$

  Мы видим, что $y$ возрастает с уменьшением $x$, так как $\sqrt{-5 — 10x}$ увеличивается при уменьшении $x$.

График функции:
Функция $y = -1 + 2\sqrt{-5 — 10x}$ растет от $-1$, так как $\sqrt{-5 — 10x}$ увеличивается при уменьшении $x$. Она будет принимать все значения, начиная от $-1$ и до $+\infty$.

Ответ:
Ответ на вопрос о значении функции: $E(f) = [-1; +\infty)$.

Итоговые ответы:

1. $E(f) = [5; +\infty)$
2. $E(f) = (-\infty; 1]$
3. $E(f) = (-\infty; 2]$
4. $E(f) = [-1; +\infty)$