ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y = 2 + \frac{x}{|x|}$;

б) $y = x^2 + 2x — \frac{x}{|x|}$;

в) $y = 2x — \frac{x}{|x|}$;

г) $y = x^2 — 2x + \frac{x+1}{|x+1|}$

а) $y = 2 + \frac{x}{|x|}$;

Если $x \geq 0$, тогда:

$$y = 2 + \frac{x}{|x|} = 2 + \frac{x}{x} = 2 + 1 = 3;$$

Если $x < 0$, тогда:

$$y = 2 + \frac{x}{|x|} = 2 + \frac{x}{-x} = 2 — 1 = 1;$$

Ответ: $E(f) = \{1; 3\}$.

б) $y = x^2 + 2x — \frac{x}{|x|}$;

Функции задают параболу:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -\frac{2}{2} = -1;$$ $$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх};$$

Если $x \geq 0$, тогда:

$$y = x^2 + 2x — \frac{x}{|x|} = x^2 + 2x — 1;$$ $$y_{\text{min}} = y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 — 1 = -1;$$

Если $x < 0$, тогда:

$$y = x^2 + 2x + \frac{x}{|x|} = x^2 + 2x + 1;$$ $$y_{\text{min}} = y_0 = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 — 2 + 1 = 0;$$

Ответ: $E(f) = (-1; +\infty)$.

в) $y = 2x — \frac{x}{|x|}$;

Если $x \geq 0$, тогда:

$$y = 2x — \frac{x}{x} = 2x — 1;$$

Если $x < 0$, тогда:

$$y = 2x — \frac{x}{-x} = 2x + 1;$$

Функции задают прямую:

$$k = 2 \neq 0 \quad \text{— прямая не параллельна оси } Ox;$$

Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = x^2 — 2x + \frac{x+1}{|x+1|}$;

Функции задают параболу:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1;$$ $$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх};$$

Если $x \geq -1$, тогда:

$$y = x^2 — 2x + \frac{x+1}{|x+1|} = x^2 — 2x + 1;$$ $$y_{\text{min}} = y_0 = 1^2 — 2 \cdot 1 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0;$$

Если $x < -1$, тогда:

$$y = x^2 — 2x + \frac{x+1}{-(x+1)} = x^2 — 2x — 1;$$ $$y_{\text{min}} = y(-1) = (-1)^2 — 2(-1) — 1 = 1 + 2 — 1 = 2;$$

Ответ: $E(f) = [0; +\infty)$.

а) $y = 2 + \frac{x}{|x|}$

Рассмотрим функцию $y = 2 + \frac{x}{|x|}$. Для анализа этой функции важно помнить, что выражение $\frac{x}{|x|}$ зависит от знака $x$, так как модуль $|x|$ представляет собой положительное число, а знак дроби будет определяться знаком $x$. Рассмотрим два случая:

Если $x \geq 0$:

Для $x \geq 0$, модуль $|x| = x$, следовательно:

$$\frac{x}{|x|} = \frac{x}{x} = 1 \quad \text{(при \( x \neq 0 \))}.$$

Подставляем это в выражение для $y$:

$$y = 2 + \frac{x}{x} = 2 + 1 = 3.$$

Таким образом, для всех $x \geq 0$, $y = 3$.

Если $x < 0$:

Для $x < 0$, модуль $|x| = -x$, следовательно:

$$\frac{x}{|x|} = \frac{x}{-x} = -1.$$

Подставляем это в выражение для $y$:

$$y = 2 + \frac{x}{-x} = 2 — 1 = 1.$$

Таким образом, для всех $x < 0$, $y = 1$.

Итак, ответ для функции:

$$E(f) = \{1, 3\}.$$

Это множество значений функции $y$, которое принимает только два значения: 1 и 3, в зависимости от знака $x$.

б) $y = x^2 + 2x — \frac{x}{|x|}$

Здесь у нас есть функция, которая включает в себя параболу $x^2 + 2x$ и выражение $\frac{x}{|x|}$, которое будет менять своё значение в зависимости от знака $x$. Рассмотрим два случая.

Анализ функции как параболы:

Стандартное уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = 2$, имеет вершину, расположенную в точке:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1.$$

Коэффициент $a = 1$ положителен, что значит, что ветви параболы направлены вверх.

Если $x \geq 0$:

Для $x \geq 0$, $\frac{x}{|x|} = 1$, и функция становится:

$$y = x^2 + 2x — \frac{x}{|x|} = x^2 + 2x — 1.$$

Для нахождения минимального значения функции, подставим $x = 0$:

$$y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 — 1 = -1.$$

Таким образом, для $x \geq 0$ минимальное значение функции $y$ равно -1.

Если $x < 0$:

Для $x < 0$, $\frac{x}{|x|} = -1$, и функция становится:

$$y = x^2 + 2x + \frac{x}{|x|} = x^2 + 2x + 1.$$

Для нахождения минимального значения функции, подставим $x = -1$ (поскольку это точка симметрии):

$$y(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 — 2 + 1 = 0.$$

Таким образом, для $x < 0$ минимальное значение функции $y$ равно 0.

Итак, на основании анализа, ответ для области значений функции:

$$E(f) = (-1; +\infty).$$

Это означает, что значения функции $y$ начинаются от -1 и продолжаются до бесконечности.

в) $y = 2x — \frac{x}{|x|}$

Здесь у нас есть линейная функция с добавлением выражения $\frac{x}{|x|}$, которое влияет на значение функции в зависимости от знака $x$. Рассмотрим два случая:

Если $x \geq 0$:

Для $x \geq 0$, $\frac{x}{|x|} = 1$, и функция становится:

$$y = 2x — \frac{x}{|x|} = 2x — 1.$$

Это линейная функция с угловым коэффициентом $2$, и она не будет параллельна оси абсцисс.

Если $x < 0$:

Для $x < 0$, $\frac{x}{|x|} = -1$, и функция становится:

$$y = 2x — \frac{x}{-x} = 2x + 1.$$

Это тоже линейная функция с угловым коэффициентом $2$, и она также не будет параллельна оси абсцисс.

Функция задает прямую, так как её выражение линейное. Угловой коэффициент $k = 2$, что означает, что прямая не параллельна оси $Ox$.

Ответ для области значений функции:

$$E(f) = (-\infty; +\infty).$$

Это значит, что функция может принимать любые значения.

г) $y = x^2 — 2x + \frac{x+1}{|x+1|}$

Здесь мы имеем параболу $x^2 — 2x$ с добавлением дроби $\frac{x+1}{|x+1|}$, которая зависит от того, насколько $x + 1$ больше или меньше нуля. Рассмотрим два случая:

Анализ функции как параболы:

Стандартное уравнение параболы $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = -2$, имеет вершину в точке:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1.$$

Коэффициент $a = 1$ положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

Если $x \geq -1$:

Для $x \geq -1$, $\frac{x+1}{|x+1|} = 1$, и функция становится:

$$y = x^2 — 2x + \frac{x+1}{|x+1|} = x^2 — 2x + 1.$$

Минимальное значение этой функции достигается в вершине параболы, когда $x = 1$:

$$y(1) = 1^2 — 2 \cdot 1 + 1 = 1 — 2 + 1 = 0.$$

Таким образом, для $x \geq -1$, минимальное значение функции $y = 0$.

Если $x < -1$:

Для $x < -1$, $\frac{x+1}{|x+1|} = -1$, и функция становится:

$$y = x^2 — 2x + \frac{x+1}{-(x+1)} = x^2 — 2x — 1.$$

Минимальное значение функции в этой области достигается при $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^2 — 2(-1) — 1 = 1 + 2 — 1 = 2.$$

Таким образом, для $x < -1$, минимальное значение функции $y = 2$.

Ответ для области значений функции:

$$E(f) = [0; +\infty).$$

Это означает, что функция $y$ принимает значения от 0 и выше.