ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.46 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что все значения функции $y = 5x + 3$ положительны в окрестности точки $0$ радиуса $0,2$.

б) Докажите, что в $0,5$-окрестности точки $-1$ найдутся как положительные, так и отрицательные значения функции $y = 5x + 3$.

а) $y = 5x + 3$ в $(0,2)$-окрестности точки $0$;

Значения функции на границах окрестности:

$$y(0 — 0,2) = y(-0,2) = 5 \cdot (-0,2) + 3 = -1 + 3 = 2;$$ $$y(0 + 0,2) = y(0,2) = 5 \cdot 0,2 + 3 = 1 + 3 = 4;$$

Функция задает прямую, значит все ее значения на отрезке $[0 — 0,2; 0 + 0,2]$ положительны, что и требовалось доказать.

б) $y = 5x + 3$ в $(0,5)$-окрестности точки $(-1)$;

Значения функции на границах окрестности:

$$y(-1 — 0,5) = y(-1,5) = 5 \cdot (-1,5) + 3 = -7,5 + 3 = -4,5 < 0;$$ $$y(-1 + 0,5) = y(-0,5) = 5 \cdot (-0,5) + 3 = -2,5 + 3 = 0,5 > 0;$$

Таким образом, на отрезке $[-1 — 0,5; -1 + 0,5]$ присутствуют как положительные, так и отрицательные значения данной функции, что и требовалось доказать.

а) $y = 5x + 3$ в $(0,2)$-окрестности точки $0$

Задача: Рассмотрим функцию $y = 5x + 3$ в $(0,2)$-окрестности точки $0$, т.е. исследуем поведение функции в интервале, который находится вокруг точки $x = 0$, а именно в интервале $(-0,2; 0,2)$.

Решение:

Значения функции на границах окрестности:

Для начала находим значения функции на границах окрестности:

• При $x = 0 — 0,2 = -0,2$:

$$y(-0,2) = 5 \cdot (-0,2) + 3 = -1 + 3 = 2.$$

• При $x = 0 + 0,2 = 0,2$:

$$y(0,2) = 5 \cdot 0,2 + 3 = 1 + 3 = 4.$$

Таким образом, значения функции на границах окрестности составляют:

$$y(-0,2) = 2 \quad \text{и} \quad y(0,2) = 4.$$

Поведение функции на отрезке $[-0,2; 0,2]$:

Далее необходимо понять, как ведет себя функция на всем отрезке $[-0,2; 0,2]$. Так как функция $y = 5x + 3$ является линейной, то она всегда будет принимать значения на этом отрезке, которые соответствуют значениям функции на его границах, так как линейная функция не может пересекать ось абсцисс внутри этого отрезка, если только она не имеет нулевого значения на интервале.

Кроме того, линейные функции монотонны, т.е. она либо возрастает, либо убывает. В данном случае коэффициент перед $x$ (то есть $5$) положительный, а значит, функция возрастает на всем интервале.

Значения на отрезке $[-0,2; 0,2]$ будут все положительными, так как функция возрастает от 2 до 4 на этом интервале.

Вывод:
Так как функция линейная, и значения функции на границах окрестности $[-0,2; 0,2]$ равны 2 и 4, а также функция монотонно возрастает, все значения на этом отрезке будут положительными. Это и требовалось доказать.

Ответ: Все значения функции на отрезке $[-0,2; 0,2]$ положительны.

б) $y = 5x + 3$ в $(0,5)$-окрестности точки $(-1)$

Задача: Рассмотрим функцию $y = 5x + 3$ в $(0,5)$-окрестности точки $-1$, т.е. исследуем поведение функции в интервале вокруг точки $x = -1$, а именно в интервале $(-1,5; -0,5)$.

Решение:

Значения функции на границах окрестности:

Для начала находим значения функции на границах окрестности:

• При $x = -1 — 0,5 = -1,5$:

$$y(-1,5) = 5 \cdot (-1,5) + 3 = -7,5 + 3 = -4,5.$$

Это значение отрицательное, т.е. $y(-1,5) = -4,5$.

• При $x = -1 + 0,5 = -0,5$:

$$y(-0,5) = 5 \cdot (-0,5) + 3 = -2,5 + 3 = 0,5.$$

Это значение положительное, т.е. $y(-0,5) = 0,5$.

Таким образом, значения функции на границах окрестности составляют:

$$y(-1,5) = -4,5 \quad \text{и} \quad y(-0,5) = 0,5.$$

Поведение функции на отрезке $[-1,5; -0,5]$:

Теперь нужно понять, как функция ведет себя на всем отрезке $[-1,5; -0,5]$. Как и в предыдущем случае, функция $y = 5x + 3$ является линейной, и она будет монотонно возрастать или убывать на всем интервале. Так как коэффициент при $x$ положительный ($5$), функция будет возрастать.

• Когда $x = -1,5$, функция имеет значение $y = -4,5$, что отрицательно.
• Когда $x = -0,5$, функция имеет значение $y = 0,5$, что положительно.

Так как функция монотонно возрастает, это значит, что на отрезке $[-1,5; -0,5]$ будут встречаться как отрицательные, так и положительные значения функции. Например, для $x = -1$ значение функции будет равно:

$$y(-1) = 5 \cdot (-1) + 3 = -5 + 3 = -2.$$

Таким образом, на этом отрезке мы видим, что функция принимает и отрицательные, и положительные значения.

Вывод:

На отрезке $[-1,5; -0,5]$ присутствуют как отрицательные, так и положительные значения функции, так как линейная функция с положительным коэффициентом перед $x$ изменяет знак от отрицательного к положительному в этом интервале.

Ответ: На отрезке $[-1,5; -0,5]$ присутствуют как положительные, так и отрицательные значения функции.