ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть область значений функции $y = f(x)$ есть отрезок $[-3; 5]$. Найдите множество значений функции:

а) $y = (f(x))^2$;
б) $y = |f(x)|$;
в) $y = (f(x))^3$;
г) $y = \sqrt{4 + f(x)}$.

$y = f(x), E(f) = [-3; 5];$

а) $y = (f(x))^2;$

$$-3 \leq f(x) \leq 5;$$ $$0 \leq (f(x))^2 \leq 25;$$

Ответ: $E(y) = [0; 25].$

б) $y = |f(x)|;$

$$-3 \leq f(x) \leq 5;$$ $$0 \leq |f(x)| \leq 5;$$

Ответ: $E(y) = [0; 5].$

в) $y = (f(x))^3;$

$$-3 \leq f(x) \leq 5;$$ $$-27 \leq (f(x))^3 \leq 125;$$

Ответ: $E(y) = [-27; 125].$

г) $y = \sqrt{4 + f(x)};$

$$-3 \leq f(x) \leq 5;$$ $$1 \leq f(x) + 4 \leq 9;$$ $$1 \leq \sqrt{f(x) + 4} \leq 3;$$

Ответ: $E(y) = [1; 3].$

Дано, что $y = f(x)$, а $E(f) = [-3; 5]$, то есть $f(x)$ принимает значения от -3 до 5, включая эти границы.

Теперь разберем каждую подзадачу по порядку:

а) $y = (f(x))^2$

Обозначения:

• У нас есть функция $y = (f(x))^2$, и нужно найти область значений $y$, то есть $E(y)$.

Нахождение области значений $y$:

• Для начала вспомним, что $f(x) \in [-3; 5]$, то есть $f(x)$ может принимать значения от -3 до 5.

Проанализируем квадрат функции:

• Когда мы возводим $f(x)$ в квадрат, то всегда получаем неотрицательное значение. Это важное наблюдение.
• Минимальное значение $(f(x))^2$ возникает, когда $f(x) = 0$, тогда $(f(x))^2 = 0^2 = 0$.
• Максимальное значение $(f(x))^2$ возникает, когда $f(x)$ максимально удалено от нуля. Так как $f(x) \in [-3; 5]$, то максимальные значения $|f(x)| = 5$ и $(5)^2 = 25$.

Пределы для $y = (f(x))^2$:

• Таким образом, $y = (f(x))^2$ будет принимать значения от 0 до 25, то есть $E(y) = [0; 25]$.

б) $y = |f(x)|$

Обозначения:

• Теперь рассматриваем функцию $y = |f(x)|$, и нужно найти область значений $y$.

Нахождение области значений $y$:

• В данном случае, $f(x) \in [-3; 5]$, и мы берем модуль от значения $f(x)$.
• Модуль числа всегда неотрицателен, и значение модуля будет равно числу, если оно положительное, или его противоположному значению, если оно отрицательное.
• Минимальное значение $|f(x)|$ происходит, когда $f(x) = 0$, то есть $|f(x)| = 0$.
• Максимальное значение $|f(x)|$ достигается, когда $f(x) = 5$, так как максимальное абсолютное значение из множества $[-3; 5]$ — это 5, то есть $|f(x)| = 5$.

Пределы для $y = |f(x)|$:

• Следовательно, $y = |f(x)|$ принимает значения от 0 до 5, то есть $E(y) = [0; 5]$.

в) $y = (f(x))^3$

Обозначения:

• Рассматриваем функцию $y = (f(x))^3$, и нужно найти область значений $y$.

Нахождение области значений $y$:

• Здесь мы рассматриваем куб функции $f(x)$. Для куба характерно, что знак числа сохраняется:
  • Если $f(x) > 0$, то и $(f(x))^3 > 0$,
  • Если $f(x) < 0$, то и $(f(x))^3 < 0$,
  • Если $f(x) = 0$, то $(f(x))^3 = 0$.
• Поскольку $f(x) \in [-3; 5]$, то мы должны учесть, что:
  • Минимальное значение $(f(x))^3$ будет при $f(x) = -3$, так как $(-3)^3 = -27$,
  • Максимальное значение $(f(x))^3$ будет при $f(x) = 5$, так как $(5)^3 = 125$.

Пределы для $y = (f(x))^3$:

• Следовательно, $y = (f(x))^3$ принимает значения от -27 до 125, то есть $E(y) = [-27; 125]$.

г) $y = \sqrt{4 + f(x)}$

Обозначения:

• Рассматриваем функцию $y = \sqrt{4 + f(x)}$, и нужно найти область значений $y$.

Нахождение области значений $y$:

• Для того чтобы $\sqrt{4 + f(x)}$ существовало, выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть:

  $$4 + f(x) \geq 0.$$

  Это означает, что $f(x) \geq -4$. Поскольку $f(x) \in [-3; 5]$, то условие $f(x) \geq -4$ выполняется для всех значений в этом интервале.

• Минимальное значение $f(x)$ равно -3, и при этом:

  $$4 + (-3) = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{1} = 1.$$

• Максимальное значение $f(x)$ равно 5, и при этом:

  $$4 + 5 = 9 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{9} = 3.$$

Пределы для $y = \sqrt{4 + f(x)}$:

• Следовательно, $y = \sqrt{4 + f(x)}$ принимает значения от 1 до 3, то есть $E(y) = [1; 3]$.

Итоговые ответы:

а) $E(y) = [0; 25]$
б) $E(y) = [0; 5]$
в) $E(y) = [-27; 125]$
г) $E(y) = [1; 3]$