ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.48 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть область значений функции у = f(x) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции:

а) у = f(x + 5);

б) у = 5 — f(x + 5);

в) у = 5 — f(x);

г) у = а — f(x + b).

$y = f(x), \, E(f) = [-3; 5];$

а) $y = f(x + 5);$

$$-3 \leq f(x) \leq 5;$$ $$-3 \leq f(x + 5) \leq 5;$$

Ответ: $E(y) = [-3; 5].$

б) $y = 5 — f(x + 5);$

$$-3 \leq f(x) \leq 5;$$ $$-3 \leq f(x + 5) \leq 5;$$ $$-5 \leq -f(x + 5) \leq 3;$$ $$0 \leq 5 — f(x + 5) \leq 8;$$

Ответ: $E(y) = [0; 8].$

в) $y = 5 — f(x);$

$$-3 \leq f(x) \leq 5;$$ $$-5 \leq f(x) \leq 3;$$ $$0 \leq 5 — f(x) \leq 8;$$

Ответ: $E(y) = [0; 8].$

г) $y = a — f(x + b);$

$$-3 \leq f(x) \leq 5;$$ $$-3 \leq f(x + b) \leq 5;$$ $$-5 \leq -f(x + b) \leq 3;$$ $$a — 5 \leq a — f(x + b) \leq a + 3;$$

Ответ: $E(y) = [a — 5; a + 3].$

$y = f(x), \, E(f) = [-3; 5]$. Это означает, что для функции $f(x)$ её значения находятся в интервале от $-3$ до $5$, т.е. для всех значений $x$ выполняется неравенство:

$$-3 \leq f(x) \leq 5$$

Задача — найти интервалы для $E(y)$, где $y$ — это преобразования функции $f(x)$.

а) $y = f(x + 5)$

Для этого случая, мы применяем сдвиг функции по оси $x$. Этот сдвиг не влияет на диапазон значений функции, так как просто изменяет аргумент, но сам диапазон значений остается неизменным.

У нас дано, что $-3 \leq f(x) \leq 5$.

Подставим $f(x + 5)$ вместо $f(x)$. Сдвиг по оси $x$ не изменяет значения функции, только сдвигает график.

$$-3 \leq f(x + 5) \leq 5$$

Таким образом, диапазон значений функции $f(x + 5)$ остается таким же:

$$E(y) = E(f(x + 5)) = [-3; 5]$$

Ответ: $E(y) = [-3; 5]$.

б) $y = 5 — f(x + 5)$

Теперь мы видим, что у нас есть сдвиг функции $f(x + 5)$ и дополнительно вычитание из 5. Это означает, что для каждого значения $f(x + 5)$ мы вычитаем его из 5, что сдвигает весь диапазон значений.

Начнем с того, что для $f(x)$ (и для $f(x + 5)$, так как это тот же диапазон) выполняется неравенство:

$$-3 \leq f(x) \leq 5$$

Следовательно:

$$-3 \leq f(x + 5) \leq 5$$

Теперь рассмотрим преобразование $y = 5 — f(x + 5)$. Мы должны учесть, что вычитание функции из 5 изменяет знак значений $f(x + 5)$:

• Из неравенства $-3 \leq f(x + 5) \leq 5$, мы можем умножить все части неравенства на $-1$ и инвертировать знаки неравенства:

$$3 \geq -f(x + 5) \geq -5$$

После этого мы прибавляем 5 ко всем частям неравенства:

$$0 \leq 5 — f(x + 5) \leq 8$$

Ответ: $E(y) = [0; 8]$.

в) $y = 5 — f(x)$

Здесь мы имеем аналогичную ситуацию, только с функцией $f(x)$ вместо $f(x + 5)$. Таким образом, рассуждения аналогичны предыдущему случаю.

Изначально у нас есть диапазон значений $f(x)$, который определен как:

$$-3 \leq f(x) \leq 5$$

Мы применяем преобразование $y = 5 — f(x)$. Как и в предыдущем случае, вычитание из 5 изменяет диапазон значений:

• Из неравенства $-3 \leq f(x) \leq 5$ инвертируем знак, получаем:

$$3 \geq -f(x) \geq -5$$

Прибавляем 5 ко всем частям неравенства:

$$0 \leq 5 — f(x) \leq 8$$

Ответ: $E(y) = [0; 8]$.

г) $y = a — f(x + b)$

В данном случае у нас есть два преобразования: сдвиг по оси $x$ на $b$ единиц и вычитание функции из некоторого числа $a$. Для этого случая также будет изменяться диапазон значений функции.

Для $f(x)$ (и для $f(x + b)$, так как сдвиг по оси $x$ не меняет диапазон значений) выполняется неравенство:

$$-3 \leq f(x) \leq 5$$

Следовательно:

$$-3 \leq f(x + b) \leq 5$$

Теперь рассматриваем преобразование $y = a — f(x + b)$. Сначала инвертируем знак значений функции $f(x + b)$:

• Из неравенства $-3 \leq f(x + b) \leq 5$ инвертируем знак, получаем:

$$3 \geq -f(x + b) \geq -5$$

Прибавляем $a$ ко всем частям неравенства:

$$a — 5 \leq a — f(x + b) \leq a + 3$$

Ответ: $E(y) = [a — 5; a + 3]$.

Итоговые ответы:

• а) $E(y) = [-3; 5]$
• б) $E(y) = [0; 8]$
• в) $E(y) = [0; 8]$
• г) $E(y) = [a — 5; a + 3]$