ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.49 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть область значений функции у = f(x — 5) есть отрезок [-3; 5]. Найдите множество значений функции:

а) у = f(x);

б) у = 5 — f(x + 5);

в) у = 5 — f(x);

г) у = а — f(x + b).

$y = f(x-5)$, $E(f) = [-3; 5]$;

а) $y = f(x)$;

$$-3 \leq f(x-5) \leq 5;$$ $$-3 \leq f(x) \leq 5;$$

Ответ: $E(y) = [-3; 5]$.

б) $y = 5 — f(x+5)$;

$$-3 \leq f(x-5) \leq 5;$$ $$-3 \leq f(x+5) \leq 5;$$ $$-5 \leq -f(x+5) \leq 3;$$ $$0 \leq 5 — f(x+5) \leq 8;$$

Ответ: $E(y) = [0; 8]$.

в) $y = 5 — f(x)$;

$$-3 \leq f(x-5) \leq 5;$$ $$-3 \leq f(x) \leq 5;$$ $$-5 \leq -f(x) \leq 3;$$ $$0 \leq 5 — f(x) \leq 8;$$

Ответ: $E(y) = [0; 8]$.

г) $y = a — f(x+b)$;

$$-3 \leq f(x-5) \leq 5;$$ $$-3 \leq f(x+b) \leq 5;$$ $$-5 \leq -f(x+b) \leq 3;$$ $$a-5 \leq a — f(x+b) \leq a+3;$$

Ответ: $E(y) = [a-5; a+3]$.

Имеется функция $y = f(x-5)$, где $E(f) = [-3; 5]$, т.е. $f(x)$ принимает значения в интервале от $-3$ до $5$. Задача — найти множества значений $y$ для разных трансформаций функции.

а) $y = f(x)$

1. Исходное условие: $y = f(x)$. Мы просто принимаем функцию $f(x)$, но без сдвига по $x$.
2. Множество значений функции $f(x)$: Нам известно, что функция $f(x)$ имеет множество значений $E(f) = [-3; 5]$, т.е. $f(x)$ может принимать любые значения от $-3$ до $5$ включительно.
3. Трансформация: Трансформация $y = f(x)$ означает, что диапазон значений функции $f(x)$ не меняется. Мы просто заменили $x-5$ на $x$, но это не влияет на множество значений функции, так как сдвиг по $x$ не меняет диапазон значений $f(x)$.

Ответ: Так как множество значений $f(x)$ остается тем же, то $E(y) = E(f) = [-3; 5]$.

б) $y = 5 — f(x+5)$

1. Исходное условие: $y = 5 — f(x+5)$. Мы рассматриваем преобразование функции, где выполняется сдвиг аргумента функции на $x+5$ и затем применяется операция вычитания из 5.
2. Множество значений функции: Мы знаем, что $f(x+5)$ по сути — это сдвиг аргумента, но множества значений функции $f(x+5)$ не изменяются. Таким образом, $f(x+5)$ также принимает значения в интервале $[-3; 5]$.
3. Рассмотрение функции $y = 5 — f(x+5)$:
   • Для $f(x+5) \in [-3; 5]$ мы рассматриваем выражение $y = 5 — f(x+5)$.
   • Минимальное значение $f(x+5) = -3$, тогда $y = 5 — (-3) = 8$.
   • Максимальное значение $f(x+5) = 5$, тогда $y = 5 — 5 = 0$.

Ответ: Таким образом, $y$ принимает значения от 0 до 8, и $E(y) = [0; 8]$.

в) $y = 5 — f(x)$

1. Исходное условие: $y = 5 — f(x)$. В данном случае мы вычитаем значение функции из числа 5.
2. Множество значений функции: Нам известно, что $f(x)$ принимает значения в интервале $[-3; 5]$.
3. Рассмотрение функции $y = 5 — f(x)$:
   • Для минимального значения $f(x) = -3$, тогда $y = 5 — (-3) = 8$.
   • Для максимального значения $f(x) = 5$, тогда $y = 5 — 5 = 0$.

Ответ: Значения $y$ будут в интервале $[0; 8]$, то есть $E(y) = [0; 8]$.

г) $y = a — f(x+b)$

1. Исходное условие: $y = a — f(x+b)$. Мы рассматриваем более общую трансформацию, где применяется сдвиг по $x$ на $b$ и вычитание из числа $a$.
2. Множество значений функции: Так как $f(x+b)$ — это функция, сдвинутая на $b$, то она также принимает значения в интервале $[-3; 5]$, как и $f(x)$.
3. Рассмотрение функции $y = a — f(x+b)$:
   • Минимальное значение $f(x+b) = -3$, тогда $y = a — (-3) = a + 3$.
   • Максимальное значение $f(x+b) = 5$, тогда $y = a — 5$.

Ответ: Таким образом, $y$ принимает значения в интервале от $a — 5$ до $a + 3$, и $E(y) = [a-5; a+3]$.

Итоги:

• а) $E(y) = [-3; 5]$
• б) $E(y) = [0; 8]$
• в) $E(y) = [0; 8]$
• г) $E(y) = [a-5; a+3]$