ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.50 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть область значений функции у = f(x) есть отрезок [-3; 5]. Найдите все целочисленные значения функции:

а) $y=\frac{7}{5+f(x)};$

б) $y=\frac{8+f(x)}{7+f(x)};$

в) $y=\frac{15}{7-f(x)};$

г) $y=\frac{f(x)}{6-f(x)}$

$y = f(x), \, E(f) = [-3; 5];$

а) $y = \frac{7}{5 + f(x)};$

Уравнение вертикальной асимптоты:

$$5 + f(x) = 0;$$ $$f(x) = -5;$$

Значения функции:

$$y(-3) = \frac{7}{5 — 3} = \frac{7}{2} = 3,5;$$ $$y(5) = \frac{7}{5 + 5} = \frac{7}{10} = 0,7;$$

Множество значений функции:

$$E(f) = [0,7; 3,5];$$

Ответ: 1; 2; 3.

б) $y = \frac{8 + f(x)}{7 + f(x)};$

Уравнение вертикальной асимптоты:

$$7 + f(x) = 0;$$ $$f(x) = -7;$$

Значения функции:

$$y(-3) = \frac{8 — 3}{7 — 3} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4};$$ $$y(5) = \frac{8 + 5}{7 + 5} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12};$$

Множество значений функции:

$$E(f) = \left[1 \frac{1}{12}; 1 \frac{1}{4}\right];$$

Ответ: целых значений нет.

в) $y = \frac{15}{7 — f(x)};$

Уравнение вертикальной асимптоты:

$$7 — f(x) = 0;$$ $$f(x) = 7;$$

Значения функции:

$$y(-3) = \frac{15}{7 + 3} = \frac{15}{10} = 1,5;$$ $$y(5) = \frac{15}{7 — 5} = \frac{15}{2} = 7,5;$$

Множество значений функции:

$$E(f) = [1,5; 7,5];$$

Ответ: 2; 3; 4; 5; 6; 7.

г) $y = \frac{f(x)}{6 — f(x)};$

Уравнение вертикальной асимптоты:

$$6 — f(x) = 0;$$ $$f(x) = 6;$$

Значения функции:

$$y(-3) = \frac{-3}{6 + 3} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3};$$ $$y(5) = \frac{5}{6 — 5} = \frac{5}{1} = 5;$$

Множество значений функции:

$$E(f) = \left[-\frac{1}{3}; 5\right];$$

Ответ: 0; 1; 2; 3; 4; 5.

$y = f(x), \, E(f) = [-3; 5];$

а) $y = \frac{7}{5 + f(x)};$

Шаг 1. Уравнение вертикальной асимптоты.

Для нахождения вертикальной асимптоты необходимо решить уравнение, при котором знаменатель функции $y = \frac{7}{5 + f(x)}$ равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Знаменатель функции:

$$5 + f(x) = 0$$

Решаем это уравнение относительно $f(x)$:

$$f(x) = -5$$

Таким образом, вертикальная асимптота будет иметь вид: $f(x) = -5$.

Шаг 2. Значения функции.

Чтобы найти значения функции в точках $x = -3$ и $x = 5$, подставим данные значения в функцию $y = \frac{7}{5 + f(x)}$.

• Для $x = -3$:

$$y(-3) = \frac{7}{5 — 3} = \frac{7}{2} = 3,5$$

• Для $x = 5$:

$$y(5) = \frac{7}{5 + 5} = \frac{7}{10} = 0,7$$

Таким образом, значения функции на отрезке $E(f) = [-3; 5]$ составляют: $y(-3) = 3,5$ и $y(5) = 0,7$.

Шаг 3. Множество значений функции.

Множество значений функции можно найти по значениям $y(-3)$ и $y(5)$. Так как функция $y = \frac{7}{5 + f(x)}$ монотонна на промежутке $[-3; 5]$ (в связи с тем, что $f(x)$ изменяется от $-3$ до $5$, а знаменатель функции всегда положителен и не обращается в ноль, так как $f(x) \neq -5$), то множество значений будет от минимального значения до максимального.

Так как на интервале $[-3; 5]$ функция $y$ убывает (поскольку знаменатель увеличивается), то минимальное значение функции будет в точке $x = 5$, а максимальное — в точке $x = -3$.

Множество значений функции:

$$E(f) = [0,7; 3,5]$$

Ответ:

1. Уравнение вертикальной асимптоты: $f(x) = -5$.
2. Значения функции: $y(-3) = 3,5$ и $y(5) = 0,7$.
3. Множество значений функции: $E(f) = [0,7; 3,5]$.
4. 1; 2; 3.

б) $y = \frac{8 + f(x)}{7 + f(x)};$

Шаг 1. Уравнение вертикальной асимптоты.

Для нахождения вертикальной асимптоты решим уравнение, при котором знаменатель функции $y = \frac{8 + f(x)}{7 + f(x)}$ равен нулю:

$$7 + f(x) = 0$$

Решаем это уравнение относительно $f(x)$:

$$f(x) = -7$$

Таким образом, вертикальная асимптота будет в точке $f(x) = -7$.

Шаг 2. Значения функции.

Теперь подставим $x = -3$ и $x = 5$ в функцию $y = \frac{8 + f(x)}{7 + f(x)}$:

• Для $x = -3$:

$$y(-3) = \frac{8 — 3}{7 — 3} = \frac{5}{4} = 1 \frac{1}{4}$$

• Для $x = 5$:

$$y(5) = \frac{8 + 5}{7 + 5} = \frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12}$$

Таким образом, значения функции на отрезке $E(f) = [-3; 5]$ составляют: $y(-3) = 1 \frac{1}{4}$ и $y(5) = 1 \frac{1}{12}$.

Шаг 3. Множество значений функции.

Множество значений функции можно найти по значениям $y(-3)$ и $y(5)$. Так как функция $y = \frac{8 + f(x)}{7 + f(x)}$ монотонна на отрезке $[-3; 5]$ (так как числитель и знаменатель изменяются на этом интервале, и знаменатель всегда положителен), то множество значений функции будет от минимального значения до максимального.

Множество значений функции:

$$E(f) = \left[1 \frac{1}{12}; 1 \frac{1}{4}\right]$$

Ответ:

1. Уравнение вертикальной асимптоты: $f(x) = -7$.
2. Значения функции: $y(-3) = 1 \frac{1}{4}$ и $y(5) = 1 \frac{1}{12}$.
3. Множество значений функции: $E(f) = \left[1 \frac{1}{12}; 1 \frac{1}{4}\right]$.
4. Целых значений нет.

в) $y = \frac{15}{7 — f(x)};$

Шаг 1. Уравнение вертикальной асимптоты.

Для нахождения вертикальной асимптоты решим уравнение, при котором знаменатель функции $y = \frac{15}{7 — f(x)}$ равен нулю:

$$7 — f(x) = 0$$

Решаем это уравнение относительно $f(x)$:

$$f(x) = 7$$

Таким образом, вертикальная асимптота будет в точке $f(x) = 7$.

Шаг 2. Значения функции.

Теперь подставим $x = -3$ и $x = 5$ в функцию $y = \frac{15}{7 — f(x)}$:

• Для $x = -3$:

$$y(-3) = \frac{15}{7 + 3} = \frac{15}{10} = 1,5$$

• Для $x = 5$:

$$y(5) = \frac{15}{7 — 5} = \frac{15}{2} = 7,5$$

Таким образом, значения функции на отрезке $E(f) = [-3; 5]$ составляют: $y(-3) = 1,5$ и $y(5) = 7,5$.

Шаг 3. Множество значений функции.

Множество значений функции можно найти по значениям $y(-3)$ и $y(5)$. Функция $y = \frac{15}{7 — f(x)}$ монотонно возрастает на отрезке $[-3; 5]$, так как знаменатель $7 — f(x)$ уменьшается по мере увеличения $f(x)$. Следовательно, на этом интервале минимальное значение функции будет в точке $x = -3$, а максимальное — в точке $x = 5$.

Множество значений функции:

$$E(f) = [1,5; 7,5]$$

Ответ:

1. Уравнение вертикальной асимптоты: $f(x) = 7$.
2. Значения функции: $y(-3) = 1,5$ и $y(5) = 7,5$.
3. Множество значений функции: $E(f) = [1,5; 7,5]$.
4. 2; 3; 4; 5; 6; 7.

г) $y = \frac{f(x)}{6 — f(x)};$

Шаг 1. Уравнение вертикальной асимптоты.

Для нахождения вертикальной асимптоты решим уравнение, при котором знаменатель функции $y = \frac{f(x)}{6 — f(x)}$ равен нулю:

$$6 — f(x) = 0$$

Решаем это уравнение относительно $f(x)$:

$$f(x) = 6$$

Таким образом, вертикальная асимптота будет в точке $f(x) = 6$.

Шаг 2. Значения функции.

Теперь подставим $x = -3$ и $x = 5$ в функцию $y = \frac{f(x)}{6 — f(x)}$:

• Для $x = -3$:

$$y(-3) = \frac{-3}{6 + 3} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3}$$

• Для $x = 5$:

$$y(5) = \frac{5}{6 — 5} = \frac{5}{1} = 5$$

Таким образом, значения функции на отрезке $E(f) = [-3; 5]$ составляют: $y(-3) = -\frac{1}{3}$ и $y(5) = 5$.

Шаг 3. Множество значений функции.

Множество значений функции можно найти по значениям $y(-3)$ и $y(5)$. Функция $y = \frac{f(x)}{6 — f(x)}$ монотонно возрастает на отрезке $[-3; 5]$, так как знаменатель $6 — f(x)$ уменьшается с увеличением $f(x)$. Следовательно, на этом интервале минимальное значение функции будет в точке $x = -3$, а максимальное — в точке $x = 5$.

Множество значений функции:

$$E(f) = \left[-\frac{1}{3}; 5\right]$$

Ответ:

1. Уравнение вертикальной асимптоты: $f(x) = 6$.
2. Значения функции: $y(-3) = -\frac{1}{3}$ и $y(5) = 5$.
3. Множество значений функции: $E(f) = \left[-\frac{1}{3}; 5\right]$.
4. 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Итоговый ответ:

• а) $E(f) = [0,7; 3,5]$
• б) $E(f) = \left[1 \frac{1}{12}; 1 \frac{1}{4}\right]$
• в) $E(f) = [1,5; 7,5]$
• г) 0; 1; 2; 3; 4; 5.$E(f) = \left[-\frac{1}{3}; 5\right]$