ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции:

а) у = |x| · (x — 6) — 2;

б) у = x · |x — 6| — 2.

а) $y = |x| \cdot (x — 6) — 2$;

Функции задают параболу;

Если $x \geq 0$, тогда:

$$y = x(x — 6) — 2 = x^2 — 6x — 2;$$ $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;$$ a = 1 > 0 — ветви направлены вверх;

Если $x < 0$, тогда:

$$y = -x(x — 6) — 2 = -x^2 + 6x — 2;$$ $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3;$$ a = -1 < 0 — ветви направлены вниз;

Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = x \cdot |x — 6| — 2$;

Функции задают параболу;

Если $x \geq 6$, тогда:

$$y = x(x — 6) — 2 = x^2 — 6x — 2;$$ $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3;$$ a = 1 > 0 — ветви направлены вверх;

Если $x < 6$, тогда:

$$y = x \cdot (6 — x) — 2 = -x^2 + 6x — 2;$$ $$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3;$$ a = -1 < 0 — ветви направлены вниз;

Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

а) $y = |x| \cdot (x — 6) — 2$;

Функция $y = |x| \cdot (x — 6) — 2$ является функцией с абсолютным значением, и её график будет иметь разные формы в зависимости от знака $x$. Разберем каждый случай отдельно.

Шаг 1. Разбор функции на два случая:

Если $x \geq 0$:

В этом случае $|x| = x$. Следовательно, функция принимает вид:

$$y = x \cdot (x — 6) — 2$$

Раскроем скобки:

$$y = x^2 — 6x — 2$$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где:

• $a = 1$
• $b = -6$
• $c = -2$

Это стандартная парабола. Для определения её вершины воспользуемся формулой для абсциссы вершины параболы $x_0$:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Парабола открывается вверх, так как $a = 1 > 0$.

Если $x < 0$:

В этом случае $|x| = -x$. Следовательно, функция принимает вид:

$$y = -x \cdot (x — 6) — 2$$

Раскроем скобки:

$$y = -x^2 + 6x — 2$$

Это тоже квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, но с другими коэффициентами:

• $a = -1$
• $b = 6$
• $c = -2$

Эта функция описывает параболу, которая открывается вниз, так как $a = -1 < 0$.

Для нахождения вершины используем аналогичную формулу для абсциссы вершины:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3$$

Это значение $x_0$ показывает, что вершина параболы находится при $x = 3$, но поскольку мы рассматриваем область $x < 0$, то эта часть функции будет описывать параболу с ветвями, направленными вниз.

Шаг 2. График функции:

• В области $x \geq 0$ функция $y = x^2 — 6x — 2$ будет представлять собой параболу, которая открывается вверх и имеет вершину в точке $x_0 = 3$.
• В области $x < 0$ функция $y = -x^2 + 6x — 2$ будет представлять собой параболу, которая открывается вниз и также имеет вершину в точке $x_0 = 3$.

Шаг 3. Множество значений функции:

Функции задают параболы, и поскольку они являются квадратичными, которые открываются вверх или вниз, их область значений будет $(-\infty; +\infty)$, так как для любой области $x$ найдется соответствующее значение $y$.

Ответ:

$$E(f) = (-\infty; +\infty)$$

б) $y = x \cdot |x — 6| — 2$;

Здесь также используется абсолютное значение, но в данном случае оно не умножается на $x$, а на выражение $|x — 6|$. Разберем оба случая.

Шаг 1. Разбор функции на два случая:

Если $x \geq 6$:

В этом случае $|x — 6| = x — 6$, так как $x \geq 6$. Следовательно, функция принимает вид:

$$y = x \cdot (x — 6) — 2$$

Раскроем скобки:

$$y = x^2 — 6x — 2$$

Это стандартная парабола вида $y = ax^2 + bx + c$, где:

• $a = 1$
• $b = -6$
• $c = -2$

Она открывается вверх, так как $a = 1 > 0$.

Для нахождения вершины параболы используем формулу для абсциссы вершины:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Однако, поскольку мы рассматриваем область $x \geq 6$, это значение вершины не имеет смысла для данной области. Следовательно, парабола будет возрастать на интервале $x \geq 6$.

Если $x < 6$:

В этом случае $|x — 6| = 6 — x$, так как $x < 6$. Следовательно, функция принимает вид:

$$y = x \cdot (6 — x) — 2$$

Раскроем скобки:

$$y = -x^2 + 6x — 2$$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$, где:

• $a = -1$
• $b = 6$
• $c = -2$

Эта парабола открывается вниз, так как $a = -1 < 0$.

Для нахождения вершины параболы используем формулу для абсциссы вершины:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = \frac{6}{2} = 3$$

Парабола будет убывать до вершины, а затем будет возрастать при $x \geq 6$.

Шаг 2. График функции:

• В области $x \geq 6$ функция $y = x^2 — 6x — 2$ будет представлять собой параболу, которая открывается вверх и имеет вершину в точке $x_0 = 3$, но эта точка находится за пределами области.
• В области $x < 6$ функция $y = -x^2 + 6x — 2$ будет представлять собой параболу, которая открывается вниз и также имеет вершину в точке $x_0 = 3$.

Шаг 3. Множество значений функции:

Так как функции задают параболы, и эти параболы могут принимать значения на всей числовой оси, область значений функции $E(f)$ будет также $(-\infty; +\infty)$.

Ответ:

$$E(f) = (-\infty; +\infty)$$

Итоговый ответ:

• а) $E(f) = (-\infty; +\infty)$
• б) $E(f) = (-\infty; +\infty)$