ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.52 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выполните в указанном порядке задания а) и б), и, обобщив их результаты, предложите алгоритм нахождения множества E(f) значений функции у = f(x) , исследуя вопрос существования корней уравнения f(x) = а, a также предложите алгоритм исследования существования корней уравнения f(x) = а, если известно E(f).

а) Найдите область значений функции у = x² — 4x — 1 и определите, при каких значениях параметра b уравнение b = x² — 4x — 1 имеет хотя бы один корень.

б) Определите, при каких значениях параметра а уравнение x² + 4x — 3 = а имеет хотя бы один корень из и найдите область значений функции у = x² + 4x — 3.

а)

$\mathrm{1.\; y}=x^2-4x-1$;

Функция задает параболу:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2;$$$$y_0=2^2-4\cdot 2-1=4-8-1=-5;$$

$a=1>0$ — ветви направлены вверх;

$$E(f)=[-5;+\mathrm{\infty });$$

$\mathrm{2.\; b}=x^2-4x-1$;

$$x^2-4x-(1+b)=0;$$$$D=4^2+4\cdot (1+b)=16+4+4b=20+4b=4(5+b);$$

Уравнение имеет корни при $D\ge 0$:

$$4(5+b)\ge 0;$$$$5+b\ge 0;$$$$b\ge -5;$$

Ответ: $E(f)=[-5;+\mathrm{\infty });b\ge -5$.

б)

${\mathrm{1.\; x}}^2+4x-3=a$;

$$x^2+4x-(3+a)=0;$$$$D=4^2+4\cdot (3+a)=16+12+4a=28+4a=4(7+a);$$

Уравнение имеет корни при $D\ge 0$:

$$4(7+a)\ge 0;$$$$7+a\ge 0;$$$$a\ge -7;$$

$\mathrm{2.\; y}=x^2+4x-3$;

Функция задает параболу:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2;$$$$y_0=(-2{)}^2+4\cdot (-2)-3=4-8-3=-7;$$

$a=1>0$ — ветви направлены вверх;

$$E(f)=[-7;+\mathrm{\infty });$$

Ответ: $E(f)=[-7;+\mathrm{\infty });a\ge -7$.

Обобщим результат:

Множество $E(f)$ значений функции $y=f(x)$ совпадает с множеством значений параметра $a$, при котором уравнение $f(x)=a$ имеет решения, и наоборот.

а) 

1) $y=x^2-4x-1$

Задача: исследовать функцию $y=x^2-4x-1$, определить её вершину, вид параболы и область значений.

• Это квадратная функция, которая задает параболу. Для нахождения вершины параболы используем формулы:$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

  где $a=1$ (коэффициент при $x^2$) и $b=-4$ (коэффициент при $x$).

• Подставляем в формулу для $x_0$:$$x_0=-\frac{-4}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2$$

  Таким образом, абсцисса вершины параболы $x_0=2$.

• Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив $x_0=2$ в исходную функцию:$$y_0=2^2-4\cdot 2-1=4-8-1=-5$$

  Таким образом, ордината вершины параболы $y_0=-5$.

• Функция имеет вид $y=x^2-4x-1$, где $a=1>0$, это означает, что ветви параболы направлены вверх.
• Следовательно, функция $y=x^2-4x-1$ имеет минимум в точке $(2,-5)$, и область значений функции будет:$$E(f)=[-5;+\mathrm{\infty })$$

  Это означает, что функция принимает значения от $-5$ (включительно) и далее в сторону бесконечности.

2) Уравнение $b=x^2-4x-1$

Задача: для уравнения $x^2-4x-1=b$ найти область значений параметра $b$.

• Перепишем уравнение в виде:$$x^2-4x-(1+b)=0$$

  Это квадратное уравнение относительно $x$, и мы можем решить его, используя дискриминант.

• Дискриминант этого уравнения равен:$$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-(1+b))=16+4(1+b)=$$

$$=16+4+4b=20+4b=4(5+b)$$

• Уравнение имеет решения при $D\ge 0$, то есть:$$4(5+b)\ge 0$$

  Для того, чтобы это неравенство выполнялось, необходимо:

  $$5+b\ge 0$$$$b\ge -5$$

  Таким образом, параметр $b$ должен быть больше или равен $-5$.

• Ответ: $E(f)=[-5;+\mathrm{\infty });b\ge -5$.

б) 

1) Уравнение $x^2+4x-3=a$

Задача: для уравнения $x^2+4x-3=a$ найти область значений параметра $a$.

• Перепишем уравнение в виде:$$x^2+4x-(3+a)=0$$

  Это также квадратное уравнение относительно $x$.

• Рассчитаем дискриминант этого уравнения:$$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot 1\cdot (-(3+a))=16+4(3+a)=$$

$$=16+12+4a=28+4a=4(7+a)$$

• Уравнение имеет решения при $D\ge 0$, то есть:$$4(7+a)\ge 0$$

  Для того, чтобы это неравенство выполнялось, необходимо:

  $$7+a\ge 0$$$$a\ge -7$$

  Таким образом, параметр $a$ должен быть больше или равен $-7$.

• Ответ: $a\ge -7$.

2) $y=x^2+4x-3$

Задача: исследовать функцию $y=x^2+4x-3$, определить её вершину, вид параболы и область значений.

• Это квадратная функция, которая задает параболу. Для нахождения вершины параболы используем формулы:$$x_0=-\frac{b}{2a}$$

  где $a=1$ (коэффициент при $x^2$) и $b=4$ (коэффициент при $x$).

• Подставляем в формулу для $x_0$:$$x_0=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2$$

  Таким образом, абсцисса вершины параболы $x_0=-2$.

• Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив $x_0=-2$ в исходную функцию:$$y_0=(-2{)}^2+4\cdot (-2)-3=4-8-3=-7$$

  Таким образом, ордината вершины параболы $y_0=-7$.

• Функция имеет вид $y=x^2+4x-3$, где $a=1>0$, это означает, что ветви параболы направлены вверх.
• Следовательно, функция $y=x^2+4x-3$ имеет минимум в точке $(-2,-7)$, и область значений функции будет:$$E(f)=[-7;+\mathrm{\infty })$$

  Это означает, что функция принимает значения от $-7$ (включительно) и далее в сторону бесконечности.

• Ответ: $E(f)=[-7;+\mathrm{\infty });a\ge -7$.

Обобщим результат:

• Множество значений функции $y=f(x)$ совпадает с множеством значений параметра $a$, при котором уравнение $f(x)=a$ имеет решения, и наоборот.
• В обоих случаях для нахождения области значений функции важно было учитывать, что уравнение имеет решения, если дискриминант не отрицателен. Мы вычислили дискриминант для каждого уравнения и получили область значений параметра, что дало нам область значений функции.