ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.53 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x^2 — ax + 3 = 0$ имеет корни, и найдите область $E(f)$ значений функции $y = \frac{x^2 + 3}{x}$;

б) Определите, при каких значениях параметра $a$ уравнение $ax^2 — 4x + a = 0$ имеет корни, и найдите область $E(f)$ значений функции $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$.

а)

1. $x^2 — ax + 3 = 0$;
   $D = a^2 — 4 \cdot 3 = a^2 — 12$;
   Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:
   $a^2 — 12 \geq 0$;
   $(a + \sqrt{12})(a — \sqrt{12}) \geq 0$;
   $(a + 2\sqrt{3})(a — 2\sqrt{3}) \geq 0$;
   $a \leq -2\sqrt{3}$ и $a \geq 2\sqrt{3}$;
2. $y = \frac{x^2 + 3}{x}$;
   Преобразуем выражение:
   $yx = x^2 + 3$;
   $x^2 — yx + 3 \neq 0$;
   $y \leq -2\sqrt{3}$ и $y \geq 2\sqrt{3}$;
   Ответ: $E(f) = (-\infty; -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}; +\infty)$; $|a| \geq 2\sqrt{3}$.

б)

1. $ax^2 — 4x + a = 0$;
   $D = 4^2 — 4 \cdot a \cdot a = 16 — 4a^2 = 4(4 — a^2)$;
   Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:
   $4(4 — a^2) \geq 0$;
   $4 — a^2 \geq 0$;
   $a^2 — 4 \leq 0$;
   $(a + 2)(a — 2) \leq 0$;
   $-2 \leq a \leq 2$;
2. $y = \frac{4x}{x^2 + 1}$;
   Преобразуем выражение:
   $y(x^2 + 1) = 4x$;
   $yx^2 + y = 4x$;
   $yx^2 — 4x + y = 0$;
   $-2 \leq y \leq 2$;
   Ответ: $E(f) = [-2; 2]$; $|a| \leq 2$.

а)

1) Уравнение:

$$x^2 — ax + 3 = 0$$

Это стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Чтобы узнать, при каких значениях $a$ у уравнения есть корни, используем дискриминант.

Дискриминант уравнения рассчитывается по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

В данном случае:

• $a = 1$ (коэффициент при $x^2$),
• $b = -a$ (коэффициент при $x$),
• $c = 3$ (свободный член).

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$$D = (-a)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = a^2 — 12$$

Условие существования корней: уравнение имеет корни, если дискриминант $D \geq 0$.

$$a^2 — 12 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$a^2 \geq 12$$

Возьмем корни из обеих сторон неравенства. Поскольку $a^2 \geq 12$, то $a \geq \sqrt{12}$ или $a \leq -\sqrt{12}$. Упростим $\sqrt{12}$:

$$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$$

Таким образом, получаем:

$$a \geq 2\sqrt{3} \quad \text{или} \quad a \leq -2\sqrt{3}$$

Это означает, что уравнение имеет корни, когда:

$$a \geq 2\sqrt{3} \quad \text{или} \quad a \leq -2\sqrt{3}$$

2) Выражение для $y$:

$$y = \frac{x^2 + 3}{x}$$

Преобразуем это выражение, чтобы выразить его через $x$. Умножим обе стороны на $x$ (при $x \neq 0$):

$$yx = x^2 + 3$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x^2 — yx + 3 = 0$$

Это также квадратное уравнение относительно $x$ с коэффициентами:

• $a = 1$,
• $b = -y$,
• $c = 3$.

Теперь рассмотрим дискриминант этого уравнения:

$$D = (-y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = y^2 — 12$$

Уравнение имеет корни, если $D \geq 0$, то есть:

$$y^2 — 12 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$y^2 \geq 12$$

Аналогично предыдущему шагу, извлекаем корни:

$$|y| \geq \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

То есть:

$$y \geq 2\sqrt{3} \quad \text{или} \quad y \leq -2\sqrt{3}$$

Таким образом, область значений функции $E(f)$ будет:

$$E(f) = (-\infty; -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}; +\infty)$$

Ответ:

$$|a| \geq 2\sqrt{3}$$

б)

1) Уравнение:

$$ax^2 — 4x + a = 0$$

Для нахождения значений $a$, при которых у этого уравнения есть корни, снова используем дискриминант. Здесь у нас:

• $a = a$,
• $b = -4$,
• $c = a$.

Подставляем в формулу для дискриминанта:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot a \cdot a = 16 — 4a^2 = 4(4 — a^2)$$

Условие существования корней: уравнение имеет корни при $D \geq 0$, то есть:

$$4(4 — a^2) \geq 0$$

Это неравенство выполняется, если:

$$4 — a^2 \geq 0$$

Решаем его:

$$a^2 \leq 4$$

Тогда:

$$|a| \leq 2$$

Итак, получаем:

$$-2 \leq a \leq 2$$

2) Выражение для $y$:

$$y = \frac{4x}{x^2 + 1}$$

Преобразуем это выражение. Умножим обе стороны на $x^2 + 1$ (при $x \neq 0$):

$$y(x^2 + 1) = 4x$$

Теперь перераспределим слагаемые:

$$yx^2 + y = 4x$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$yx^2 — 4x + y = 0$$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Рассчитаем его дискриминант:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot y \cdot y = 16 — 4y^2$$

Уравнение имеет корни, если $D \geq 0$, то есть:

$$16 — 4y^2 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$4y^2 \leq 16$$ $$y^2 \leq 4$$

Следовательно:

$$|y| \leq 2$$

Таким образом, область значений функции $E(f)$ будет:

$$E(f) = [-2; 2]$$

Ответ:

$$|a| \leq 2$$

Итоговые ответы:

• Для первого задания: $E(f) = (-\infty; -2\sqrt{3}] \cup [2\sqrt{3}; +\infty)$, $|a| \geq 2\sqrt{3}$.
• Для второго задания: $E(f) = [-2; 2]$, $|a| \leq 2$.