ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.54 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите область значений функции y = $f(x):$

а) $f(x)=\frac{x^2+8}{x}$

б) $f(x)=\frac{x^2+8}{x+1}$

в) $f(x)=\frac{x^2-4}{x}$

г) $f(x)=\frac{x^2-4}{x-1}$

а) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x}$

Преобразуем выражение:

$$y = \frac{x^2 + 8}{x};$$ $$yx = x^2 + 8;$$ $$x^2 — yx + 8 = 0;$$ $$D = y^2 — 4 \cdot 8 = y^2 — 32;$$

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:

$$y^2 — 32 \geq 0;$$ $$(y + \sqrt{32})(y — \sqrt{32}) \geq 0;$$ $$(y + 4\sqrt{2})(y — 4\sqrt{2}) \geq 0;$$ $$y \leq -4\sqrt{2} \text{ и } y \geq 4\sqrt{2};$$

Ответ: $E(f) = (-\infty; -4\sqrt{2}] \cup [4\sqrt{2}; +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$

Преобразуем выражение:

$$y = \frac{x^2 + 8}{x + 1};$$ $$y(x + 1) = x^2 + 8;$$ $$yx + y = x^2 + 8;$$ $$x^2 — yx + (8 — y) = 0;$$ $$D = y^2 — 4 \cdot (8 — y) = y^2 + 4y — 32;$$

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:

$$y^2 + 4y — 32 \geq 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 32 = 16 + 128 = 144, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-4 — 12}{2} = -8 \text{ и } y_2 = \frac{-4 + 12}{2} = 4;$$ $$(y + 8)(y — 4) \geq 0;$$ $$y \leq -8 \text{ и } y \geq 4;$$

Ответ: $E(f) = (-\infty; -8] \cup [4; +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x}$

Преобразуем выражение:

$$y = \frac{x^2 — 4}{x};$$ $$yx = x^2 — 4;$$ $$x^2 — yx — 4 = 0;$$ $$D = y^2 + 4 \cdot 4 = y^2 + 16;$$

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:

$$y^2 + 16 \geq 0;$$ $$y^2 \geq -16;$$ $$y \in \mathbb{R};$$

Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

г) $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x — 1}$

Преобразуем выражение:

$$y = \frac{x^2 — 4}{x — 1};$$ $$y(x — 1) = x^2 — 4;$$ $$yx — y = x^2 — 4;$$ $$x^2 — yx — (4 — y) = 0;$$ $$D = y^2 + 4 \cdot (4 — y) = y^2 — 4y + 16;$$

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:

$$y^2 — 4y + 16 \geq 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 16 = 16 — 64 = -48 < 0;$$ $$a = 1 > 0 \text{ — верно при любом } y;$$

Ответ: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

а) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x}$

1) Преобразование выражения

Нам нужно найти область значений функции $y = \frac{x^2 + 8}{x}$.

Начнем с того, что выразим $y$ через $x$:

$$y = \frac{x^2 + 8}{x}$$

Умножим обе стороны на $x$ (при $x \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$$yx = x^2 + 8$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x^2 — yx + 8 = 0$$

Теперь у нас квадратное уравнение относительно $x$. Чтобы определить, при каких значениях $y$ у уравнения будут корни, используем дискриминант.

2) Рассчитаем дискриминант

Квадратное уравнение имеет вид $x^2 — yx + 8 = 0$, где:

• $a = 1$ — коэффициент при $x^2$,
• $b = -y$ — коэффициент при $x$,
• $c = 8$ — свободный член.

Дискриминант $D$ для этого уравнения вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставим значения:

$$D = (-y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = y^2 — 32$$

3) Условие существования корней

Уравнение имеет корни, если дискриминант $D \geq 0$. То есть:

$$y^2 — 32 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$y^2 \geq 32$$

Теперь извлекаем корень из обеих сторон:

$$|y| \geq \sqrt{32}$$

Упростим $\sqrt{32}$:

$$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$

Таким образом, получаем:

$$|y| \geq 4\sqrt{2}$$

То есть:

$$y \leq -4\sqrt{2} \quad \text{или} \quad y \geq 4\sqrt{2}$$

Таким образом, область значений функции $E(f)$ будет:

$$E(f) = (-\infty; -4\sqrt{2}] \cup [4\sqrt{2}; +\infty)$$

Ответ для пункта а: $E(f) = (-\infty; -4\sqrt{2}] \cup [4\sqrt{2}; +\infty)$.

б) $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$

1) Преобразование выражения

Теперь рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$. Нам нужно найти область значений этой функции.

Запишем выражение для $y$:

$$y = \frac{x^2 + 8}{x + 1}$$

Умножим обе стороны на $x + 1$ (при $x \neq -1$):

$$y(x + 1) = x^2 + 8$$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

$$yx + y = x^2 + 8$$ $$x^2 — yx + (8 — y) = 0$$

Теперь у нас квадратное уравнение относительно $x$. Чтобы определить, при каких значениях $y$ у уравнения будут корни, рассчитаем его дискриминант.

2) Рассчитаем дискриминант

Квадратное уравнение $x^2 — yx + (8 — y) = 0$ имеет вид $ax^2 + bx + c = 0$, где:

• $a = 1$,
• $b = -y$,
• $c = 8 — y$.

Дискриминант $D$ для этого уравнения вычисляется по формуле:

$$D = b^2 — 4ac$$

Подставим значения:

$$D = (-y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (8 — y) = y^2 — 4(8 — y) = y^2 + 4y — 32$$

3) Условие существования корней

Уравнение имеет корни, если $D \geq 0$:

$$y^2 + 4y — 32 \geq 0$$

Решим это неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 + 4y — 32 = 0$ с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a}$$

Где:

• $a = 1$,
• $b = 4$,
• $c = -32$.

Подставим в формулу:

$$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-32)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 128}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{144}}{2}$$ $$y = \frac{-4 \pm 12}{2}$$

Таким образом, получаем два корня:

$$y_1 = \frac{-4 — 12}{2} = -8 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-4 + 12}{2} = 4$$

Теперь, для того чтобы $D \geq 0$, нужно решить неравенство:

$$(y + 8)(y — 4) \geq 0$$

Это неравенство выполнено, когда $y \leq -8$ или $y \geq 4$.

4) Ответ

Таким образом, область значений функции $E(f)$ будет:

$$E(f) = (-\infty; -8] \cup [4; +\infty)$$

Ответ для пункта б: $E(f) = (-\infty; -8] \cup [4; +\infty)$.

в) $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x}$

1) Преобразование выражения

Теперь рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x}$. Нам нужно найти область значений этой функции.

Запишем выражение для $y$:

$$y = \frac{x^2 — 4}{x}$$

Умножим обе стороны на $x$ (при $x \neq 0$):

$$yx = x^2 — 4$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$x^2 — yx — 4 = 0$$

Теперь у нас квадратное уравнение относительно $x$. Рассчитаем его дискриминант.

2) Рассчитаем дискриминант

Квадратное уравнение имеет вид $x^2 — yx — 4 = 0$, где:

• $a = 1$,
• $b = -y$,
• $c = -4$.

Дискриминант $D$ для этого уравнения вычисляется по формуле:

$$D = (-y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = y^2 + 16$$

3) Условие существования корней

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:

$$y^2 + 16 \geq 0$$

Это неравенство всегда выполняется, поскольку $y^2 \geq 0$ для всех $y$, и прибавление положительного числа $16$ только усиливает результат.

Таким образом, уравнение всегда имеет корни для всех значений $y$.

4) Ответ

Область значений функции $E(f)$ будет:

$$E(f) = (-\infty; +\infty)$$

Ответ для пункта в: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

г) $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x — 1}$

1) Преобразование выражения

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x^2 — 4}{x — 1}$. Нам нужно найти область значений этой функции.

Запишем выражение для $y$:

$$y = \frac{x^2 — 4}{x — 1}$$

Умножим обе стороны на $x — 1$ (при $x \neq 1$):

$$y(x — 1) = x^2 — 4$$

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

$$yx — y = x^2 — 4$$ $$x^2 — yx — (4 — y) = 0$$

Теперь у нас квадратное уравнение относительно $x$. Рассчитаем его дискриминант.

2) Рассчитаем дискриминант

Квадратное уравнение имеет вид $x^2 — yx — (4 — y) = 0$, где:

• $a = 1$,
• $b = -y$,
• $c = -(4 — y)$.

Дискриминант $D$ для этого уравнения вычисляется по формуле:

$$D = (-y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-(4 — y)) = y^2 — 4(4 — y) = y^2 — 4y + 16$$

3) Условие существования корней

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:

$$y^2 — 4y + 16 \geq 0$$

Вычислим дискриминант этого выражения:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 16 — 64 = -48$$

Поскольку дискриминант отрицателен, у этого уравнения нет действительных корней.

4) Ответ

Таким образом, функция не имеет ограничений по значению $y$, и область значений функции $E(f)$ будет:

$$E(f) = (-\infty; +\infty)$$

Ответ для пункта г: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.

Итоговые ответы:

• Для пункта а: $E(f) = (-\infty; -4\sqrt{2}] \cup [4\sqrt{2}; +\infty)$.
• Для пункта б: $E(f) = (-\infty; -8] \cup [4; +\infty)$.
• Для пункта в: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Для пункта г: $E(f) = (-\infty; +\infty)$.