ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее целое число, принадлежащее множеству значений функции:

а) $y=\sqrt{x^2-7x-3}$

б) $y=\sqrt{x^2-7x+24}$

Найти наименьшее целое число, принадлежащее множеству значений функции:

а) $y = \sqrt{x^2 — 7x — 3}$

Множество значений выражения под знаком корня:
$a = x^2 — 7x — 3;$
$x^2 — 7x — (3 + a) = 0;$
$D = 7^2 + 4 \cdot (3 + a) = 49 + 12 + 4a = 61 + 4a;$

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:
$61 + 4a \geq 0;$
$4a \geq -61;$
$a \geq -15,25;$

Наименьший квадрат целого числа:
$0 = 0^2;$
Ответ: $0$.

б) $y = \sqrt{x^2 — 7x + 24}$

Множество значений выражения под знаком корня:
$a = x^2 — 7x + 24;$
$x^2 — 7x + (24 — a) = 0;$
$D = 7^2 — 4 \cdot (24 — a) = 49 — 96 + 4a = 4a — 47;$

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:
$4a — 47 \geq 0;$
$4a \geq 47;$
$a \geq 11,75;$

Наименьший квадрат целого числа:
$16 = 4^2;$
Ответ: $4$.

Нужно найти наименьшее целое число, принадлежащее множеству значений функции для каждого из заданных выражений.

а) $y = \sqrt{x^2 — 7x — 3}$

Для того чтобы функция $y = \sqrt{x^2 — 7x — 3}$ имела смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. То есть:

$$x^2 — 7x — 3 \geq 0$$

1. Множество значений выражения под знаком корня

Обозначим подкоренное выражение через $a$:

$$a = x^2 — 7x — 3$$

Нам нужно решить неравенство:

$$a \geq 0$$

Для этого переведем его в более удобную форму. Рассмотрим уравнение $x^2 — 7x — (3 + a) = 0$, то есть для каждого значения $a$ подкоренное выражение должно быть таким, чтобы у уравнения было хотя бы одно решение.

Это уравнение будет иметь реальные корни, если его дискриминант будет неотрицателен. Дискриминант для квадратичного уравнения $x^2 — 7x — (3 + a) = 0$ равен:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-(3 + a)) = 49 + 4(3 + a) = 49 + 12 + 4a = 61 + 4a$$

Чтобы у уравнения были реальные корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D = 61 + 4a \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$4a \geq -61$$ $$a \geq -15.25$$

Таким образом, для того чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, $a \geq -15.25$.

2. Наименьшее значение для $a$

Теперь, нам нужно найти наименьшее значение $a$, которое является квадратом целого числа, поскольку $a = x^2 — 7x — 3$ — это выражение, подлежащее извлечению квадратного корня. Нам нужно найти наименьшее значение $a$, которое является квадратом целого числа и при этом больше или равно $-15.25$.

Самым маленьким целым числом, квадрат которого больше или равен $-15.25$, будет $0$, так как $0^2 = 0$, а $0 \geq -15.25$.

Ответ для части (а): $0$.

б) $y = \sqrt{x^2 — 7x + 24}$

Аналогично предыдущему случаю, чтобы функция $y = \sqrt{x^2 — 7x + 24}$ имела смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x^2 — 7x + 24 \geq 0$$

1. Множество значений выражения под знаком корня

Обозначим подкоренное выражение через $a$:

$$a = x^2 — 7x + 24$$

Решим неравенство:

$$a \geq 0$$

Для того чтобы это неравенство выполнялось, рассмотрим уравнение $x^2 — 7x + (24 — a) = 0$. Его дискриминант равен:

$$D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (24 — a) = 49 — 4(24 — a) = 49 — 96 + 4a = 4a — 47$$

Для того чтобы у уравнения были реальные корни, дискриминант должен быть неотрицательным:

$$D = 4a — 47 \geq 0$$

Решим это неравенство:

$$4a \geq 47$$ $$a \geq 11.75$$

Таким образом, для того чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, $a \geq 11.75$.

2. Наименьшее значение для $a$

Теперь нам нужно найти наименьшее значение $a$, которое является квадратом целого числа и больше или равно $11.75$. Это значение будет равно $16$, так как $4^2 = 16$, и оно является минимальным квадратом целого числа, которое больше или равно $11.75$.

Ответ для части (б): $4$.

Итоговый ответ:

• Для функции $y = \sqrt{x^2 — 7x — 3}$ наименьшее целое число: $0$.
• Для функции $y = \sqrt{x^2 — 7x + 24}$ наименьшее целое число: $4$.