ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.56 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=5;$

б) $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }<5$

а)

Все значения аргумента:
$|x — 1| = 5;$

Если $x \geq 1$, тогда:
$x — 1 = 5;$
$x = 6;$

Если $x < 1$, тогда:
$1 — x = 5;$
$x = -4;$

В общем случае:
$x_1 = -4 \text{ и } x_2 = 6;$

Все значения выражения:
$f(-4) = \sqrt{\frac{2 \cdot |-4 + 4|}{(-4)^2 — (-4) — 10}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0}{16 + 4 — 10}} = 0;$
$f(6) = \sqrt{\frac{2 \cdot |6 + 4|}{6^2 — 6 — 10}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 10}{36 — 6 — 10}} = \sqrt{\frac{20}{20}} = 1;$

Ответ: $0; 1$.

б)

Все значения аргумента:
$|x — 1| < 5;$

Если $x \geq 1$, тогда:
$x — 1 < 5;$
$x < 6;$

Если $x < 1$, тогда:
$1 — x < 5;$
$-x < 4;$
$x > -4;$

В общем случае:
$-4 < x < 6;$

Координаты вершины параболы:
$y = x^2 — 2x + 5;$
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1;$

Значения выражения:
$f(-4) = \sqrt{\frac{(-4)^2 — 2 \cdot (-4) + 5}{29}} = \sqrt{\frac{16 + 8 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{29}{29}} = 1;$
$f(1) = \sqrt{\frac{1^2 — 2 \cdot 1 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{1 — 2 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{4}{29}} = \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29};$
$f(6) = \sqrt{\frac{6^2 — 2 \cdot 6 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{36 — 12 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{29}{29}} = 1;$

Ответ: $\left( \frac{2\sqrt{29}}{29}; 1 \right)$.

а)

1) Все значения аргумента:

Задано уравнение:

$$|x — 1| = 5$$

Это означает, что разность между $x$ и $1$ равна 5 по модулю. То есть, $x$ может быть либо на 5 больше 1, либо на 5 меньше 1.

Решение уравнения по частям:

1.1) Если $x \geq 1$, тогда:

Когда $x \geq 1$, выражение под модулем не меняет знак, и можно записать:

$$x — 1 = 5$$

Теперь решаем это простое линейное уравнение:

$$x = 6$$

1.2) Если $x < 1$, тогда:

Когда $x < 1$, разность под модулем будет иметь противоположный знак. То есть:

$$1 — x = 5$$

Теперь решим это уравнение:

$$-x = 5 — 1$$ $$-x = 4$$ $$x = -4$$

Таким образом, мы нашли два возможных значения для $x$: $x_1 = -4$ и $x_2 = 6$.

Ответ: Все значения аргумента: $x_1 = -4$ и $x_2 = 6$.

2) Все значения выражения:

Нам нужно найти значения функции для найденных $x$ — для $x = -4$ и $x = 6$.

2.1) Значение функции при $x = -4$:

Для этого подставим $x = -4$ в исходное выражение:

$$f(x) = \sqrt{\frac{2 \cdot |x + 4|}{x^2 — x — 10}}$$

Подставляем $x = -4$:

$$f(-4) = \sqrt{\frac{2 \cdot |-4 + 4|}{(-4)^2 — (-4) — 10}} = \sqrt{\frac{2 \cdot |0|}{16 + 4 — 10}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 0}{16 + 4 — 10}} = \sqrt{\frac{0}{10}} = 0$$

Ответ для $f(-4)$: $0$.

2.2) Значение функции при $x = 6$:

Теперь подставим $x = 6$ в выражение для функции:

$$f(6) = \sqrt{\frac{2 \cdot |6 + 4|}{6^2 — 6 — 10}} = \sqrt{\frac{2 \cdot |10|}{36 — 6 — 10}} = \sqrt{\frac{20}{20}} = \sqrt{1} = 1$$

Ответ для $f(6)$: $1$.

Ответ для части (а): $0; 1$.

б)

1) Все значения аргумента:

Задано неравенство:

$$|x — 1| < 5$$

Это означает, что разность между $x$ и $1$ по модулю должна быть меньше 5. Разберем это неравенство по частям.

1.1) Если $x \geq 1$, тогда:

Когда $x \geq 1$, выражение под модулем не меняет знак, и мы получаем неравенство:

$$x — 1 < 5$$

Решаем его:

$$x < 6$$

1.2) Если $x < 1$, тогда:

Когда $x < 1$, разность под модулем будет иметь противоположный знак, и неравенство принимает вид:

$$1 — x < 5$$

Решаем его:

$$-x < 4$$ $$x > -4$$

Таким образом, в общем случае получаем:

$$-4 < x < 6$$

Ответ: Все значения аргумента: $-4 < x < 6$.

2) Координаты вершины параболы:

Задано уравнение параболы:

$$y = x^2 — 2x + 5$$

Чтобы найти координаты вершины, используем формулу для $x$-координаты вершины параболы для уравнения вида $y = ax^2 + bx + c$:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

В нашем случае $a = 1$, $b = -2$, и $c = 5$. Подставим в формулу для $x_0$:

$$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$$

Таким образом, $x_0 = 1$ — это абсцисса вершины.

Теперь находим ординату вершины, подставив $x_0 = 1$ в уравнение параболы:

$$y_0 = (1)^2 — 2 \cdot 1 + 5 = 1 — 2 + 5 = 4$$

Таким образом, координаты вершины параболы: $(1, 4)$.

3) Значения выражения:

Нам нужно найти значения функции для $x = -4$, $x = 1$ и $x = 6$.

3.1) Значение функции при $x = -4$:

Подставляем $x = -4$ в выражение для функции:

$$f(-4) = \sqrt{\frac{(-4)^2 — 2 \cdot (-4) + 5}{29}} = \sqrt{\frac{16 + 8 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{29}{29}} = \sqrt{1} = 1$$

Ответ для $f(-4)$: $1$.

3.2) Значение функции при $x = 1$:

Подставляем $x = 1$ в выражение для функции:

$$f(1) = \sqrt{\frac{1^2 — 2 \cdot 1 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{1 — 2 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{4}{29}} = \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29}$$

Ответ для $f(1)$: $\frac{2\sqrt{29}}{29}$.

3.3) Значение функции при $x = 6$:

Подставляем $x = 6$ в выражение для функции:

$$f(6) = \sqrt{\frac{6^2 — 2 \cdot 6 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{36 — 12 + 5}{29}} = \sqrt{\frac{29}{29}} = \sqrt{1} = 1$$

Ответ для $f(6)$: $1$.

Ответ для части (б): $\left( \frac{2\sqrt{29}}{29}; 1 \right)$.

Итоговый ответ:

а) $0; 1$
б) $\left( \frac{2\sqrt{29}}{29}; 1 \right)$