ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.65 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Докажите, что если $[x] = k$, тогда $[x + n] = k + n$, где $n \in \mathbb{N}$;

б) Докажите, что если $[x] = k$, тогда $[x + y] \leq k + y$, где $y \in \mathbb{R}$.

а) Доказать, что если $[x] = k$, тогда $[x + n] = k + n$, где $n \in \mathbb{N}$;

По определению целой части числа:

$$k \leq x < k + 1;$$ $$k + n \leq x + n < (k + n) + 1;$$

$k, n \in \mathbb{Z}$, значит $(k + n)$, $((k + n) + 1) \in \mathbb{Z}$;

Следовательно, верно равенство:

$$[x + n] = k + n;$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что если $[x] = k$, тогда $[x + y] \leq k + y$, где $y \in \mathbb{R}$;

Пусть $x = 1,9$ и $y = 0,2$, тогда:

$$k = [x] = [1,9] = 1;$$ $$k + y = 1 + 0,2 = 1,2;$$ $$[x + y] = [1,9 + 0,2] = [2,1] = 2;$$ $$[x + y] > k + y;$$

Таким образом, данное неравенство неверно.

а) Доказать, что если $[x] = k$, тогда $[x + n] = k + n$, где $n \in \mathbb{N}$

Шаг 1. Разбор определения целой части

Целая часть числа $x$, обозначаемая $[x]$, это наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Формально это можно записать как:

$$[x] = k \quad \text{если и только если} \quad k \leq x < k + 1,$$

где $k$ — целое число, которое является целой частью $x$.

Шаг 2. Исходные предположения

Из условия задачи нам дано, что $[x] = k$. То есть, по определению целой части:

$$k \leq x < k + 1.$$

Теперь давайте добавим к числу $x$ некоторое натуральное число $n$. Мы хотим доказать, что $[x + n] = k + n$, где $n \in \mathbb{N}$ — это положительное целое число.

Шаг 3. Изменение неравенства при добавлении $n$

Когда мы добавляем $n$ к обеим частям неравенства $k \leq x < k + 1$, это выглядит так:

$$k + n \leq x + n < k + n + 1.$$

Здесь мы просто прибавили $n$ к каждой части неравенства.

Шаг 4. Определение целой части для $x + n$

Теперь, учитывая, что $x + n$ лежит в пределах от $k + n$ до $k + n + 1$, мы можем утверждать, что целая часть числа $x + n$ будет равна $k + n$, так как $k + n$ — это наибольшее целое число, не превосходящее $x + n$. Формально:

$$[x + n] = k + n.$$

Шаг 5. Заключение

Мы показали, что если $[x] = k$, то для любого $n \in \mathbb{N}$, $[x + n] = k + n$.

Ответ:

$$[x + n] = k + n,$$

что и требовалось доказать.

б) Доказать, что если $[x] = k$, тогда $[x + y] \leq k + y$, где $y \in \mathbb{R}$

Шаг 1. Разбор определения целой части

Как и в предыдущем пункте, целая часть $[x]$ — это наибольшее целое число, которое не превосходит $x$. Таким образом, для $x$ с целой частью $k$ мы имеем:

$$k \leq x < k + 1.$$

Шаг 2. Рассмотрим добавление произвольного числа $y$

Теперь добавим к $x$ некоторое действительное число $y$. Тогда для выражения $x + y$ мы имеем:

$$k + y \leq x + y < k + 1 + y.$$

Заметьте, что если $y$ — это действительное число, то его добавление к обеим частям неравенства просто смещает границы. Однако важно понять, что целая часть числа $x + y$ будет ограничена следующим образом:

$$[x + y] \leq \lfloor k + y \rfloor.$$

Целая часть $x + y$ не может быть больше $k + y$, так как $[x + y]$ всегда меньше или равно целой части $k + y$, которая определяется как наибольшее целое число, не превышающее $k + y$.

Шаг 3. Пример для иллюстрации

Для наглядности рассмотрим конкретный пример.

Пусть $x = 1,9$ и $y = 0,2$. Тогда:

$$k = [x] = [1,9] = 1.$$

Теперь вычислим:

$$k + y = 1 + 0,2 = 1,2.$$

Затем, добавляем $y$ к $x$:

$$x + y = 1,9 + 0,2 = 2,1.$$

Теперь, вычислим целую часть $[x + y]$:

$$[x + y] = [2,1] = 2.$$

Заметим, что:

$$[x + y] = 2 > k + y = 1,2.$$

Таким образом, мы видим, что неравенство $[x + y] \leq k + y$ не выполняется для этого примера.

Шаг 4. Заключение

Мы показали, что данное неравенство $[x + y] \leq k + y$ не всегда выполняется для произвольных $x$ и $y$, так как в некоторых случаях целая часть $x + y$ может быть больше, чем $k + y$.

Ответ:
Неравенство $[x + y] \leq k + y$ неверно в общем случае.

Итоговые ответы:

1. а) Доказано, что если $[x] = k$, то $[x + n] = k + n$ для $n \in \mathbb{N}$.
2. б) Доказано, что не всегда выполняется неравенство $[x + y] \leq k + y$ для $y \in \mathbb{R}$.