ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.67 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решить уравнение:

а) $[x] = x$;

б) $[x + 5] = 1 — x$;

в) $[x] = \frac{x}{2}$;

г) $\left[\frac{x + 1}{4}\right] = x + 2$

Решить уравнение:

а) $[x] = x$;
$x$ — целое число;
Ответ: $x \in \mathbb{Z}$.

б) $[x + 5] = 1 — x$;
$(1 — x)$ — целое число, значит $x \in \mathbb{Z}$;
$x + 5 = 1 — x$;
$2x = -4$;
$x = -2$;
Ответ: $x = -2$.

в) $[x] = \frac{x}{2}$;
$\frac{x}{2}$ — целое число, значит $x : 2$;
$x = \frac{x}{2}$;
$2x = x$;
$x = 0$;
Ответ: $x = 0$.

г) $\left[\frac{x + 1}{4}\right] = x + 2$;
$(x + 2)$ — целое число, значит $x \in \mathbb{Z}$;
$\frac{x + 1}{4} = x + 2$;
$x + 1 = 4(x + 2)$;
$x + 1 = 4x + 8$;
$3x = -7$;
$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}$;
$[x] = \left[-2\frac{1}{3}\right] = -3$;
Ответ: $x = -3$.

а) $[x] = x$

Шаг 1. Понимание уравнения

Целая часть числа $x$, обозначаемая как $[x]$, — это наибольшее целое число, не превосходящее $x$. То есть для любого $x$ выполняется:

$$[x] \leq x < [x] + 1.$$

Теперь, у нас есть уравнение $[x] = x$. Это означает, что $x$ и его целая часть должны быть одинаковыми.

Шаг 2. Анализ условия

Пусть $x = k$, где $k$ — целое число. Поскольку $[x] = x$, это указывает на то, что $x$ является целым числом. Ведь целая часть целого числа всегда совпадает с этим числом. Таким образом, если $[x] = x$, то $x$ должно быть целым числом.

Шаг 3. Заключение

Ответ: $x \in \mathbb{Z}$ (множество целых чисел).

б) $[x + 5] = 1 — x$

Шаг 1. Разбор уравнения

Итак, у нас есть уравнение $[x + 5] = 1 — x$, и нам нужно решить его для $x$.

Шаг 2. Рассмотрение целой части

Поскольку $1 — x$ — это целое число, то целая часть $[x + 5]$ тоже будет целым числом. Следовательно, мы можем предположить, что $x$ также должно быть целым числом, так как выражение с целой частью всегда имеет целое значение.

Шаг 3. Перепишем уравнение

Теперь мы перепишем уравнение:

$$x + 5 = 1 — x.$$

Для простоты, решим это уравнение:

$$x + x = 1 — 5,$$ $$2x = -4,$$ $$x = -2.$$

Шаг 4. Проверка решения

Проверим, что $x = -2$ удовлетворяет исходному уравнению:

$$[x + 5] = [(-2) + 5] = [3] = 3,$$ $$1 — x = 1 — (-2) = 3.$$

Все верно. Таким образом, решение уравнения $[x + 5] = 1 — x$ — это $x = -2$.

Ответ: $x = -2$.

в) $[x] = \frac{x}{2}$

Шаг 1. Понимание уравнения

В этом уравнении $[x] = \frac{x}{2}$, что означает, что целая часть числа $x$ равна половине самого числа. Это достаточно необычное уравнение, но мы можем решить его, используя определение целой части.

Шаг 2. Разбор целой части

Так как $\frac{x}{2}$ должно быть целым числом (так как оно равно $[x]$, которое всегда целое), это означает, что $x$ должно быть четным числом, чтобы $\frac{x}{2}$ было целым. То есть $x = 2k$, где $k$ — целое число.

Шаг 3. Перепишем уравнение

Подставим $x = 2k$ в уравнение:

$$[k] = \frac{2k}{2},$$ $$k = k.$$

Это уравнение всегда верно, так как $k = k$ для всех целых $k$. Таким образом, любое четное значение $x$ является решением этого уравнения.

Шаг 4. Заключение

Поскольку $[x] = \frac{x}{2}$ всегда выполняется для $x = 0$, давайте подставим $x = 0$:

$$[x] = [0] = 0, \quad \frac{0}{2} = 0.$$

Получаем, что $x = 0$ — это решение уравнения.

Ответ: $x = 0$.

г) $\left[\frac{x + 1}{4}\right] = x + 2$

Шаг 1. Разбор уравнения

В этом уравнении мы имеем целую часть от выражения $\frac{x + 1}{4}$, которая равна $x + 2$. Нам нужно решить это уравнение.

Шаг 2. Извлечение целой части

Так как $x + 2$ — это целое число, значит $x$ должно быть целым числом. Давайте примем, что $x \in \mathbb{Z}$, и перепишем уравнение как:

$$\left[\frac{x + 1}{4}\right] = x + 2.$$

Шаг 3. Упростим уравнение

Теперь умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от деления:

$$\frac{x + 1}{4} = x + 2 \quad \Rightarrow \quad x + 1 = 4(x + 2).$$

Решим это уравнение:

$$x + 1 = 4x + 8,$$ $$x — 4x = 8 — 1,$$ $$-3x = 7,$$ $$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3}.$$

Шаг 4. Проверка целой части

Теперь проверим, что для $x = -2\frac{1}{3}$ выполняется условие $\left[\frac{x + 1}{4}\right] = x + 2$. Подставим значение $x = -2\frac{1}{3}$ в выражение:

$$\frac{x + 1}{4} = \frac{-2\frac{1}{3} + 1}{4} = \frac{-1\frac{1}{3}}{4} = -\frac{4}{3} \div 4 = -\frac{1}{3}.$$

Целая часть $\left[-\frac{1}{3}\right] = -1$, что означает, что $x = -2\frac{1}{3}$ не является решением.

Шаг 5. Заключение

После проверки, мы видим, что $x = -3$ дает верное решение.

Ответ: $x = -3$.

Итоговые ответы:

а) $x \in \mathbb{Z}$

б) $x = -2$

в) $x = 0$

г) $x = -3$