ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Выясните, при каких значениях переменных x и у линии, представленные на рисунках 7—10, задают функции вида у = f(x) или/и вида x = ф(у) (за единицу масштаба принят размер одной клетки).

Линию задает функция вида $t = f(k)$ в том, и только в том случае, если в данной функции каждому значению аргумента $k$ соответствует единственное значение $t$ функции;

а) Рисунок 3:

• На отрезке $x \in [-3; 3]$ линию задает функция вида $y = f(x)$;
• На отрезке $y \in [-1; 3]$ линию задает функция вида $x = \varphi(y)$;

б) Рисунок 4:

• На отрезке $x \in [-2; 2]$ линию задает функция вида $y = f(x)$;
• На отрезке $y \in (1; 3]$ линию задает функция вида $x = \varphi(y)$;

в) Рисунок 5:

• Никакую линию не задает функция вида $y = f(x)$;
• На отрезке $y \in [-2; 3]$ линию задает функция вида $x = \varphi(y)$;

г) Рисунок 6:

• На отрезке $x \in [-3; -1)$ линию задает функция вида $y = f(x)$;
• На отрезке $y \in [-2; 3]$ линию задает функция вида $x = \varphi(y)$

Понимание понятия «линия, задаваемая функцией»

Говоря о том, что линия задается функцией вида $t = f(k)$, мы имеем в виду, что эта линия может быть описана математически в виде графика функции, где для каждого значения аргумента $k$ существует ровно одно значение $t$. Это утверждение означает, что функция должна быть функцией одной переменной. Иными словами, для каждого $k$ есть единственное соответствующее значение $t$.

Теперь давайте разберемся с каждым рисунком, указав на важные моменты.

а) Рисунок 3:

1. Отрезок $x \in [-3; 3]$:
   На этом отрезке линия задается функцией вида $y = f(x)$. Это означает, что на интервале $x \in [-3; 3]$ для каждого значения $x$ существует единственное соответствующее значение $y$. То есть, это функция, которая определяет $y$ как единственное значение для каждого $x$ на этом отрезке. Следовательно, на этом интервале мы видим график функции $y = f(x)$.
2. Отрезок $y \in [-1; 3]$:
   На этом отрезке линия задается функцией вида $x = \varphi(y)$. Это уже другая функция, где для каждого значения $y$ существует единственное значение $x$, которое соответствует этому $y$. Важно заметить, что эта функция существует только на интервале $y \in [-1; 3]$. В данном случае мы можем представить, что функция $x = \varphi(y)$ — это обратная функция к $y = f(x)$, которая определяет $x$ через $y$.

б) Рисунок 4:

1. Отрезок $x \in [-2; 2]$:
   На этом отрезке линия задается функцией вида $y = f(x)$, где для каждого значения $x$ из интервала $[-2; 2]$ существует единственное значение $y$. Это утверждение аналогично пункту а), только на другом интервале значений $x$.
2. Отрезок $y \in (1; 3]$:
   На этом интервале линия задается функцией вида $x = \varphi(y)$. Важно отметить, что на этом интервале для каждого значения $y \in (1; 3]$ существует единственное соответствующее значение $x$. Задание функции в виде $x = \varphi(y)$ указывает на то, что эта линия — это обратная функция к $y = f(x)$.

в) Рисунок 5:

1. Отрезок $x \in [-3; 3]$:
   В данном случае говорится, что никакую линию не задает функция вида $y = f(x)$. Это означает, что на отрезке $x \in [-3; 3]$ не существует функции, которая бы определяла $y$ как единственное значение для каждого $x$. Возможно, это связано с тем, что на этом интервале существует несколько значений $y$ для одного и того же $x$, что нарушает условие функции (где для каждого $x$ должно быть ровно одно значение $y$).
2. Отрезок $y \in [-2; 3]$:
   Однако на отрезке $y \in [-2; 3]$ линия все-таки задается функцией вида $x = \varphi(y)$. Это значит, что для каждого значения $y$ из этого интервала существует единственное значение $x$, и эта линия описывается функцией $x = \varphi(y)$.

г) Рисунок 6:

1. Отрезок $x \in [-3; -1)$:
   На этом отрезке линия задается функцией вида $y = f(x)$. Это означает, что на интервале $x \in [-3; -1)$ для каждого значения $x$ существует уникальное значение $y$, которое задает график функции $y = f(x)$. Этот интервал ограничен с правой стороны значением $x = -1$, но это не включает саму точку $x = -1$, то есть $x = -1$ не входит в область определения этой функции.
2. Отрезок $y \in [-2; 3]$:
   Для значений $y \in [-2; 3]$ линия задается функцией вида $x = \varphi(y)$, что означает, что для каждого значения $y$ из этого интервала существует единственное значение $x$, которое описывает график функции $x = \varphi(y)$. Этот интервал включает все значения $y$ от -2 до 3.

Общее замечание по решениям:

Для каждой из функций мы проверяем, что для каждого значения аргумента существует единственное соответствующее значение функции. Если же для некоторого значения аргумента несколько значений функции не определяются, то это противоречит свойствам функции, и такую линию нельзя описать функцией вида $y = f(x)$ или $x = \varphi(y)$.