ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.72 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Найти все числа, для которых $\{x\} = 0,123$.

б) Найти наибольшее целое, не превосходящее 1000, дробная часть которого равна 0,123.

а) Найти все числа, для которых $\{x\} = 0,123$;

Пусть $k$ — произвольное целое число, тогда:
$x = k + 0,123;$

Выполним проверку:
$\{x\} = x — [x] = k + 0,123 — [k + 0,123] = k + 0,123 — k = 0,123;$
Ответ: $x = k + 0,123$.

б) Найти наибольшее целое, не превосходящее 1000, дробная часть которого равна 0,123:

Пусть $k$ — произвольное целое число, тогда:
$x = k + 0,123;$

Наибольшее такое число, не большее тысячи:
$k + 0,123 \leq 1000;$
$k \leq 999,8777;$
$k = 999;$
$x = 999 + 0,123 = 999,123;$
Ответ: $x = 999,123$.

а) Найти все числа, для которых $\{x\} = 0,123$

Шаг 1. Определение дробной части числа

Дробная часть числа $x$, обозначаемая как $\{x\}$, — это разница между числом $x$ и его целой частью $[x]$. Точно говоря:

$$\{x\} = x — [x],$$

где $[x]$ — это целая часть числа $x$, которая является наибольшим целым числом, не превосходящим $x$.

Шаг 2. Общее решение для дробной части $\{x\}$

Из условия задачи, нам нужно найти такие числа $x$, у которых дробная часть равна 0,123:

$$\{x\} = 0,123.$$

Это означает, что число $x$ должно быть равно некоторому целому числу $k$ плюс дробная часть 0,123:

$$x = k + 0,123,$$

где $k \in \mathbb{Z}$ — произвольное целое число. Это общее решение для всех чисел, у которых дробная часть равна 0,123.

Шаг 3. Проверка

Проверим, что решение $x = k + 0,123$ действительно удовлетворяет условию задачи:

$$\{x\} = x — [x] = (k + 0,123) — [k + 0,123].$$

Поскольку $k$ — целое число, целая часть $[k + 0,123]$ будет равна $k$, так как $k \leq k + 0,123 < k + 1$. Подставим это в выражение для дробной части:

$$\{x\} = (k + 0,123) — k = 0,123.$$

Таким образом, дробная часть действительно равна 0,123, и наше решение верно.

Ответ:

$$x = k + 0,123, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Найти наибольшее целое, не превосходящее 1000, дробная часть которого равна 0,123:

Шаг 1. Определение формулы для числа

Так как дробная часть числа равна 0,123, число $x$ можно записать как:

$$x = k + 0,123,$$

где $k$ — целое число. Нам нужно найти наибольшее число $x$, которое не превосходит 1000.

Шаг 2. Условие на $x$

Из условия задачи мы знаем, что $x \leq 1000$. Подставим выражение для $x$:

$$k + 0,123 \leq 1000.$$

Теперь решим это неравенство для $k$:

$$k \leq 1000 — 0,123 = 999,877.$$

Шаг 3. Наибольшее целое значение $k$

Так как $k$ — целое число, максимальное значение $k$, которое удовлетворяет этому неравенству, будет равно $k = 999$, так как $999$ — наибольшее целое число, которое меньше или равно 999,877.

Шаг 4. Вычисление числа $x$

Теперь, подставим $k = 999$ в выражение для $x$:

$$x = 999 + 0,123 = 999,123.$$

Шаг 5. Проверка решения

Проверим, что $x = 999,123$ удовлетворяет условиям задачи:

• Дробная часть числа $x$ равна 0,123, так как $x = 999 + 0,123$.
• Число $x = 999,123$ действительно меньше или равно 1000.

Ответ:

$$x = 999,123.$$

Итоговые ответы:

1. а) Все числа, для которых дробная часть равна 0,123, имеют вид $x = k + 0,123$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. б) Наибольшее число, не превосходящее 1000 и имеющее дробную часть 0,123, равно $x = 999,123$.