ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 7.8 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Из прямоугольного листа жести размером 30 x 50 см по углам вырезали квадраты со стороной x см и из полученной заготовки в форме «креста» согнули коробку прямоугольной формы высотой, равной x см (см. рис.11). Выразите объем полученной коробки как функцию от x.

Прямоугольный лист имеет размеры 30×50 см, из него по углам вырезали квадраты по $x$ см и согнули в коробку;

1. Стороны полученной коробки имеют длину:
   $a = 30 — x — x = 30 — 2x \, (\text{см});$
   $b = 50 — x — x = 50 — 2x \, (\text{см});$
   $h = x \, (\text{см});$
2. Объем коробки:
   $V = abh = (30 — 2x)(50 — 2x)x;$
   $V = 1500x — 60x^2 — 100x^2 + 4x^3;$
   $V(x) = 4x^3 — 160x^2 + 1500x;$
3. Стороны не могут иметь отрицательную длину, значит:

$$\begin{cases} 30 — 2x > 0 \\ 50 — 2x > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x < 30 \\ 2x < 50 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 15 \\ x < 25 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 15 \\ x > 0 \end{cases};$$

Ответ: $V(x) = 4x^3 — 160x^2 + 1500x, \, x \in (0; 15)$.

Прямоугольный лист имеет размеры 30×50 см, из него по углам вырезали квадраты со стороной $x$ см и согнули в коробку. Необходимо найти объем коробки и указать область допустимых значений для $x$.

Шаг 1: Определение размеров полученной коробки

Предположим, что из прямоугольного листа с размерами 30 см × 50 см вырезали квадраты по $x$ см с каждого угла и сложили края, чтобы получить коробку.

• Ширина коробки $a$:
  Ширина исходного листа 30 см. Из каждого угла вырезан квадрат со стороной $x$, таким образом, ширина коробки после сгибания будет равна $30 — 2x$, поскольку по $x$ см вырезается с обеих сторон.

  $$a = 30 — 2x \, (\text{см}).$$

• Длина коробки $b$:
  Длина исходного листа 50 см. Аналогично, с обеих сторон вырезаются квадраты со стороной $x$.

  $$b = 50 — 2x \, (\text{см}).$$

• Высота коробки $h$:
  Высота коробки равна стороне квадрата, который вырезается из каждого угла. Это и есть $x$.

  $$h = x \, (\text{см}).$$

Таким образом, мы получили формулы для сторон коробки после вырезания углов.

Шаг 2: Вычисление объема коробки

Объем коробки $V$ равен произведению ее трех сторон $a$, $b$ и $h$. Подставим выражения для этих сторон:

$$V = a \cdot b \cdot h = (30 — 2x)(50 — 2x) \cdot x.$$

Теперь раскроем скобки, чтобы упростить выражение:

$$(30 — 2x)(50 — 2x) = 30 \cdot 50 — 30 \cdot 2x — 50 \cdot 2x + 2x \cdot 2x$$ $$= 1500 — 60x — 100x + 4x^2$$ $$= 1500 — 160x + 4x^2.$$

Теперь умножим на $x$, чтобы получить окончательную форму для объема:

$$V = (1500 — 160x + 4x^2) \cdot x$$ $$V = 1500x — 160x^2 + 4x^3.$$

Таким образом, выражение для объема коробки будет:

$$V(x) = 4x^3 — 160x^2 + 1500x.$$

Шаг 3: Условия на $x$ (ограничения)

Для того чтобы коробка существовала, все ее стороны должны быть положительными, то есть длины сторон $a$, $b$ и $h$ должны быть больше нуля. Давайте поочередно рассмотрим каждое из этих условий:

• Для $a = 30 — 2x > 0$:
  Из этого неравенства получаем:

  $$30 — 2x > 0 \quad \Rightarrow \quad 2x < 30 \quad \Rightarrow \quad x < 15.$$

• Для $b = 50 — 2x > 0$:
  Аналогично:

  $$50 — 2x > 0 \quad \Rightarrow \quad 2x < 50 \quad \Rightarrow \quad x < 25.$$

• Для $h = x > 0$:
  Очевидно, $x > 0$.

Таким образом, мы получаем систему неравенств для $x$:

$$\begin{cases} x < 15 \\ x < 25 \\ x > 0 \end{cases}$$

Из этой системы мы видим, что наиболее строгим условием является $x < 15$. Таким образом, $x$ должно лежать в интервале $(0; 15)$.

Шаг 4: Итоговый ответ

Объем коробки как функция от $x$ имеет вид:

$$V(x) = 4x^3 — 160x^2 + 1500x,$$

и область допустимых значений для $x$ — это интервал $x \in (0; 15)$.

Ответ:

$$V(x) = 4x^3 — 160x^2 + 1500x, \quad x \in (0; 15).$$