ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 75 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Университет в течение двух лет увеличивал количество принятых студентов на один и тот же процент. На сколько процентов увеличивался приём студентов ежегодно, если количество поступивших возросло с 2000 человек до 2880?

Пусть количество студентов ежегодно увеличивается на $x (\%)$, тогда:

$$\frac{100 + x}{100}$$

— во столько раз увеличивается их количество ежегодно;

За два года число студентов возросло с 2000 до 2880 человек, значит:

$$2000\cdot {\left(\frac{100+x}{100}\right)}^2=2880;$$

$$2000 \cdot \left( \frac{100 + x}{100} \right)^2 = 2880;$$ $$2000\cdot (1+0,01x{)}^2=2880;$$

$$2000 \cdot (1 + 0,01x)^2 = 2880;$$ $$(1+0,01x{)}^2=\frac{2880}{2000};$$

$$(1 + 0,01x)^2 = \frac{2880}{2000};$$ $$1+0,01x=\sqrt{\frac{36}{25}};$$

$$1 + 0,01x = \sqrt{\frac{36}{25}};$$ $$0,01x=\frac{6}{5}-1;$$

$$0,01x = \frac{6}{5} — 1;$$ $$0,01x=\frac{1}{5};$$

$$0,01x = \frac{1}{5};$$ $$x = \frac{1}{5} : 0,01 = \frac{100}{5} = 20 (\%);$$

Ответ: на 20 процентов.

Условия задачи:

Университет увеличивает количество студентов ежегодно на один и тот же процент. Количество студентов увеличилось с 2000 до 2880 за два года. Необходимо найти, на сколько процентов увеличивался приём студентов ежегодно.

Шаг 1: Определим переменные

• Пусть $x$ — это процент увеличения количества студентов ежегодно.
• В первый год количество студентов увеличивается на $x \%$, то есть на $\frac{x}{100}$ от исходного числа.
• Если за один год число студентов увеличивается на $x \%$, то через год их число увеличится во столько раз:

  $$\frac{100 + x}{100} = 1 + \frac{x}{100}.$$

Таким образом, если в первый год количество студентов равно $N_0$, то через год это количество будет равно:

$$N_1 = N_0 \cdot \left( 1 + \frac{x}{100} \right).$$

Шаг 2: Изменение числа студентов за два года

Через два года количество студентов увеличилось с 2000 до 2880. Поскольку увеличение происходило на одинаковый процент каждый год, то через два года количество студентов будет равно:

$$N_2 = 2000 \cdot \left( 1 + \frac{x}{100} \right)^2.$$

Здесь $N_2 = 2880$, так как через два года количество студентов стало 2880.

Таким образом, получаем уравнение:

$$2000 \cdot \left( 1 + \frac{x}{100} \right)^2 = 2880.$$

Шаг 3: Упростим уравнение

Разделим обе части уравнения на 2000, чтобы избавиться от множителя 2000:

$$\left( 1 + \frac{x}{100} \right)^2 = \frac{2880}{2000}.$$

Упростим правую часть:

$$\frac{2880}{2000} = 1.44.$$

Получаем:

$$\left( 1 + \frac{x}{100} \right)^2 = 1.44.$$

Шаг 4: Извлечем квадратный корень

Чтобы избавиться от квадрата, извлекаем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

$$1 + \frac{x}{100} = \sqrt{1.44}.$$

Знаем, что $\sqrt{1.44} = 1.2$, поэтому:

$$1 + \frac{x}{100} = 1.2.$$

Шаг 5: Найдем $x$

Теперь решим это уравнение для $x$:

$$\frac{x}{100} = 1.2 — 1 = 0.2.$$

Умножим обе части уравнения на 100:

$$x = 0.2 \cdot 100 = 20.$$

Ответ

Таким образом, ежегодный процент увеличения числа студентов составляет 20%.

Ответ: на 20 процентов.