ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 76 Повторение Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

В сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, добавили 100 г золота. В результате содержание золота в сплаве увеличилось на 20 %. Сколько граммов серебра в сплаве?

Пусть $x$ грамм — количество серебра в первом сплаве, тогда:

• $x + 80$ (г) — масса первого сплава;
• $x + 80 + 100$ (г) — масса второго сплава;

$$\frac{80}{x + 80} \cdot 100\% — \text{содержание золота в первом сплаве};$$ $$\frac{80 + 100}{x + 80 + 100} \cdot 100\% — \text{содержание золота во втором сплаве};$$

Содержание золота в сплаве увеличилось на $20\%$, значит:

$$\frac{80}{x + 80} \cdot 100 + 20 = \frac{80 + 100}{x + 80 + 100} \cdot 100;$$ $$\frac{8000}{x + 80} + 20 = \frac{18000}{x + 180} \quad | \cdot (x + 80)(x + 180);$$ $$8000(x + 180) + 20(x + 80)(x + 180) = 18000(x + 80);$$ $$8000x + 1440000 + 20(x^2 + 260x + 14400) = 18000x + 1440000;$$ $$20x^2 + 5200x + 288000 = 10000x;$$ $$20x^2 — 4800x + 288000 = 0;$$ $$x^2 — 240x + 14400 = 0;$$ $$(x — 120)^2 = 0;$$ $$x — 120 = 0;$$ $$x = 120 \, (\text{г});$$

Ответ: $120$ грамм.

Дано:

1. Пусть $x$ — количество серебра в первом сплаве (в граммах).
2. Тогда масса первого сплава составит $x + 80$ грамм.
3. Масса второго сплава, который состоит из первого сплава и 100 грамм золота, составит $x + 80 + 100 = x + 180$ грамм.

Нам нужно найти количество серебра $x$ в первом сплаве, используя информацию о содержании золота в сплавах.

Содержание золота в первом сплаве:

Содержание золота в первом сплаве вычисляется по формуле:

$$\frac{80}{x + 80} \cdot 100\% \quad \text{(где 80 — это масса золота в первом сплаве)}$$

Содержание золота во втором сплаве:

$$\frac{80 + 100}{x + 80 + 100} \cdot 100\% = \frac{180}{x + 180} \cdot 100\%$$

Задача сообщает, что содержание золота во втором сплаве увеличилось на $20\%$. То есть, содержание золота во втором сплаве на $20\%$ больше, чем в первом.

Таким образом, получаем уравнение:

$$\frac{80}{x + 80} \cdot 100 + 20 = \frac{180}{x + 180} \cdot 100$$

Теперь решим это уравнение пошагово.

Шаг 1: Упростим уравнение

$$\frac{80}{x + 80} \cdot 100 + 20 = \frac{180}{x + 180} \cdot 100$$

Приведем уравнение к более удобному виду:

$$\frac{8000}{x + 80} + 20 = \frac{18000}{x + 180}$$

Шаг 2: Умножим обе части на $(x + 80)(x + 180)$

Для избавления от знаменателей умножим обе части уравнения на $(x + 80)(x + 180)$:

$$8000(x + 180) + 20(x + 80)(x + 180) = 18000(x + 80)$$

Шаг 3: Раскроем скобки

Раскроем все скобки:

$$8000(x + 180) + 20(x^2 + 260x + 14400) = 18000(x + 80)$$

После раскрытия скобок получаем:

$$8000x + 1440000 + 20x^2 + 5200x + 288000 = 18000x + 1440000$$

Шаг 4: Упростим уравнение

Теперь упростим уравнение, перемещая все термины на одну сторону:

$$20x^2 + 5200x + 288000 = 10000x$$

Приводим к стандартному виду:

$$20x^2 — 4800x + 288000 = 0$$

Шаг 5: Разделим на 20

Для удобства разделим все уравнение на 20:

$$x^2 — 240x + 14400 = 0$$

Шаг 6: Решим квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение с помощью выделения полного квадрата:

$$(x — 120)^2 = 0$$

Решение этого уравнения:

$$x — 120 = 0$$ $$x = 120 \, \text{г}$$

Ответ:

Количество серебра в первом сплаве равно $\boxed{120}$ грамм.