ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите промежутки монотонности функции:

а) $y = 2x^2 — 3x + 4$;

б) $y = \sqrt{1 — x} = \sqrt{-(x — 1)}$;

в) $y = 5x^2 + 6x — 11$;

г) $y = \sqrt{3 + 5x}$

Найти промежутки монотонности функции:

а) $y = 2x^2 — 3x + 4$;

Абсцисса вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0,75;$
$a = 2 > 0$ — ветви направлены вверх;
Ответ: возрастает на $[0,75; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0,75]$.

б) $y = \sqrt{1 — x} = \sqrt{-(x — 1)}$;

Выражение имеет смысл при:
$1 — x \geq 0;$
$x \leq 1;$
$k = -1 > 0$ — функция убывает;
Ответ: убывает на $(-\infty; 1]$.

в) $y = 5x^2 + 6x — 11$;

Абсцисса вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 5} = -\frac{6}{10} = -0,6;$
$a = 5 > 0$ — ветви направлены вверх;
Ответ: возрастает на $[-0,6; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -0,6]$.

г) $y = \sqrt{3 + 5x}$;

Выражение имеет смысл при:
$3 + 5x \geq 0;$
$5x \geq -3;$
$x \geq -0,6;$
$k = 5 > 0$ — функция возрастает;
Ответ: возрастает на $[-0,6; +\infty)$.

Найти промежутки монотонности функции:

а) $y = 2x^2 — 3x + 4$

Тип функции:
Это квадратичная функция, которая имеет вид параболы. Монотонность функции определяется положением её вершины.

Вершина параболы:
Для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Подставим значения из нашего уравнения $a = 2$ и $b = -3$:

$$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} = 0,75$$

Форма параболы:
Парабола открывается вверх, так как коэффициент $a = 2 > 0$. Это означает, что функция имеет минимум в вершине.

Монотонность функции:

• Для $x$ на интервале $(-\infty, 0,75)$, функция будет убывать, потому что парабола наклоняется вниз перед вершиной.
• Для $x$ на интервале $(0,75, +\infty)$, функция будет возрастать, так как парабола наклоняется вверх после вершины.

Ответ:
Функция возрастает на интервале $[0,75; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; 0,75]$.

б) $y = \sqrt{1 — x} = \sqrt{-(x — 1)}$

Определение области допустимых значений (ОДЗ):
Для того чтобы выражение $\sqrt{1 — x}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$1 — x \geq 0$$

Переносим $x$ в правую часть:

$$x \leq 1$$

Таким образом, функция определена для всех $x$ на интервале $(-\infty, 1]$.

Монотонность функции:
Рассмотрим производную функции $y = \sqrt{1 — x}$. Для этого сначала преобразуем функцию в более удобную форму:

$$y = (1 — x)^{1/2}$$

Используем правило дифференцирования степенной функции. Производная:

$$y’ = \frac{1}{2}(1 — x)^{-1/2} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\sqrt{1 — x}}$$

Поскольку знаменатель всегда положителен для $x \leq 1$, а перед дробью стоит отрицательное число, производная всегда отрицательна. Это означает, что функция убывает на всем интервале её определения.

Ответ:
Функция убывает на интервале $(-\infty; 1]$.

в) $y = 5x^2 + 6x — 11$

Тип функции:
Это также квадратичная функция, представляющая собой параболу.

Вершина параболы:
Абсцисса вершины для квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Подставим значения из нашего уравнения $a = 5$ и $b = 6$:

$$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 5} = -\frac{6}{10} = -0,6$$

Форма параболы:
Парабола открывается вверх, так как $a = 5 > 0$. Это означает, что функция имеет минимум в вершине.

Монотонность функции:

• Для $x$ на интервале $(-\infty, -0,6)$, функция убывает, потому что перед вершиной парабола наклоняется вниз.
• Для $x$ на интервале $(-0,6, +\infty)$, функция возрастает, так как после вершины парабола наклоняется вверх.

Ответ:
Функция возрастает на интервале $[-0,6; +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty; -0,6]$.

г) $y = \sqrt{3 + 5x}$

Определение области допустимых значений (ОДЗ):
Чтобы выражение $\sqrt{3 + 5x}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3 + 5x \geq 0$$

Переносим $5x$ в правую часть:

$$5x \geq -3$$

И далее делим на 5:

$$x \geq -\frac{3}{5} = -0,6$$

Таким образом, функция определена для всех $x$ на интервале $[-0,6, +\infty)$.

Монотонность функции:
Рассмотрим производную функции $y = \sqrt{3 + 5x}$. Сначала преобразуем функцию:

$$y = (3 + 5x)^{1/2}$$

Теперь найдем производную:

$$y’ = \frac{1}{2}(3 + 5x)^{-1/2} \cdot 5 = \frac{5}{2\sqrt{3 + 5x}}$$

Поскольку числитель и знаменатель всегда положительны для $x \geq -0,6$, производная всегда положительна, что означает, что функция возрастает на интервале её определения.

Ответ:
Функция возрастает на интервале $[-0,6; +\infty)$.

Итоговый ответ:

а) возрастает на $[0,75; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0,75]$

б) убывает на $(-\infty; 1]$

в) возрастает на $[-0,6; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -0,6]$

г) возрастает на $[-0,6; +\infty)$