ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите промежутки монотонности функции:

а) $y = \frac{1}{x^4 + 1}$;

б) $y = \frac{1}{x^2 + 6x + 10}$;

в) $y = \frac{1}{x^2 — 1}$;

г) $y = \frac{1}{x^2 — 4x — 12}$

а) $y = \frac{1}{x^4 + 1}$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^4 + 1;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0;$

$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх};$

$x^4 + 1 > 0 \quad \Rightarrow \quad x^4 > -1 \quad \Rightarrow \quad x \in \mathbb{R};$

Возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$;

Принимает положительные значения на $(-\infty; +\infty)$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{x^2 + 6x + 10}$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 + 6x + 10;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -\frac{6}{2} = -3;$

$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх};$

$x^2 + 6x + 10 > 0;$

$D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 — 40 = -4 < 0;$

Возрастает на $[-3; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; -3]$;

Принимает положительные значения на $(-\infty; +\infty)$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; -3]$ и убывает на $[-3; +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{x^2 — 1}$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 — 1;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0;$

$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх};$

$x^2 — 1 > 0;$

$(x + 1)(x — 1) > 0;$

$x < -1 \quad \text{и} \quad x > 1;$

Возрастает на $[0; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 0]$;

Принимает положительные значения на $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$;

Принимает отрицательные значения на $(-1; 1)$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; -1) \cup (-1; 0]$ и убывает на $[0; 1) \cup (1; +\infty)$.

г) $y = \frac{1}{x^2 — 4x — 12}$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 — 4x — 12;$

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2;$

$a = 1 > 0 \quad \text{— ветви направлены вверх};$

$x^2 — 4x — 12 > 0;$

$D = 4^2 + 4 \cdot 12 = 16 + 48 = 64, \text{тогда:}$

$x_1 = \frac{4 — 8}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6;$

$(x + 2)(x — 6) > 0;$

$x < -2 \quad \text{и} \quad x > 6;$

Возрастает на $[2; +\infty)$ и убывает на $(-\infty; 2]$;

Принимает положительные значения на $(-\infty; -2) \cup (6; +\infty)$;

Принимает отрицательные значения на $(-2; 6)$;

Ответ: возрастает на $(-\infty; -2) \cup (-2; 2]$ и убывает на $[2; 6) \cup (6; +\infty)$.

а) $y = \frac{1}{x^4 + 1}$

1. Рассмотрим функцию:

$$y = x^4 + 1$$

Это простая многочленная функция четвертой степени. Мы рассмотрим её свойства, чтобы понять, как ведет себя функция $y = \frac{1}{x^4 + 1}$.

2. Исследуем функцию $y = x^4 + 1$:

Для нахождения минимальной точки и поведения функции рассмотрим её вершину:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$$

Функция $y = x^4 + 1$ — это парабола, с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^4$ положительный). Таким образом, $x_0 = 0$ — это точка минимума.

3. Анализируем знак функции $y = x^4 + 1$:

Мы видим, что:

$$x^4 + 1 > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

Таким образом, функция $y = x^4 + 1$ всегда положительна и не имеет нулевых значений.

4. Определяем монотонность функции $y = x^4 + 1$:

• Функция возрастает на интервале $[0, +\infty)$, так как для $x > 0$, $x^4 + 1$ возрастает.
• Функция убывает на интервале $(-\infty, 0]$, так как для $x < 0$, $x^4 + 1$ убывает.

5. Рассматриваем функцию $y = \frac{1}{x^4 + 1}$:

Теперь, рассматриваем функцию $y = \frac{1}{x^4 + 1}$.

• Если $y = x^4 + 1$ возрастает, то $\frac{1}{y}$ будет убывать, потому что дробь с увеличивающимся знаменателем будет уменьшаться.
• Если $y = x^4 + 1$ убывает, то $\frac{1}{y}$ будет возрастать, так как дробь с уменьшающимся знаменателем будет увеличиваться.

6. Анализ монотонности функции $y = \frac{1}{x^4 + 1}$:

• На интервале $[0, +\infty)$, $x^4 + 1$ возрастает, следовательно $y = \frac{1}{x^4 + 1}$ убывает.
• На интервале $(-\infty, 0]$, $x^4 + 1$ убывает, следовательно $y = \frac{1}{x^4 + 1}$ возрастает.

Ответ:

• Функция $y = \frac{1}{x^4 + 1}$ возрастает на интервале $(-\infty, 0]$ и убывает на интервале $[0, +\infty)$.

б) $y = \frac{1}{x^2 + 6x + 10}$

1. Рассмотрим функцию:

$$y = x^2 + 6x + 10$$

Это квадратное уравнение. Чтобы понять его свойства, вычислим вершину параболы.

2. Найдем вершину параболы:

Используем формулу для нахождения абсциссы вершины параболы $x_0 = -\frac{b}{2a}$, где $a = 1$, $b = 6$:

$$x_0 = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$$

3. Исследуем знак функции:

Для анализа знаков определим дискриминант функции $y = x^2 + 6x + 10$:

$$D = b^2 — 4ac = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 — 40 = -4$$

Поскольку дискриминант отрицателен, функция $y = x^2 + 6x + 10$ не пересекает ось абсцисс, и всегда положительна. То есть:

$$x^2 + 6x + 10 > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

4. Определяем монотонность функции:

• Парабола $y = x^2 + 6x + 10$ возрастает на интервале $[-3, +\infty)$ и убывает на интервале $(-\infty, -3]$.

5. Рассматриваем функцию $y = \frac{1}{x^2 + 6x + 10}$:

• На интервале $[-3, +\infty)$ функция $x^2 + 6x + 10$ возрастает, следовательно, функция $y = \frac{1}{x^2 + 6x + 10}$ убывает.
• На интервале $(-\infty, -3]$ функция $x^2 + 6x + 10$ убывает, следовательно, функция $y = \frac{1}{x^2 + 6x + 10}$ возрастает.

Ответ:

• Функция $y = \frac{1}{x^2 + 6x + 10}$ возрастает на интервале $(-\infty, -3]$ и убывает на интервале $[-3, +\infty)$.

в) $y = \frac{1}{x^2 — 1}$

1. Рассмотрим функцию:

$$y = x^2 — 1$$

Это парабола, которая пересекает ось абсцисс в точках $x = -1$ и $x = 1$.

2. Исследуем знак функции:

Функция $y = x^2 — 1$ принимает положительные значения, когда $|x| > 1$, и отрицательные значения, когда $|x| < 1$.

3. Определяем монотонность функции $y = x^2 — 1$:

• На интервале $[0, +\infty)$, функция $y = x^2 — 1$ возрастает, так как $x^2$ увеличивается.
• На интервале $(-\infty, 0]$, функция $y = x^2 — 1$ также возрастает, так как $x^2$ увеличивается при $x \to 0$.

4. Рассматриваем функцию $y = \frac{1}{x^2 — 1}$:

• Если $x^2 — 1 > 0$, то $y = \frac{1}{x^2 — 1}$ убывает.
• Если $x^2 — 1 < 0$, то $y = \frac{1}{x^2 — 1}$ возрастает.

5. Определяем монотонность функции $y = \frac{1}{x^2 — 1}$:

• На интервале $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, где $x^2 — 1 > 0$, функция $y = \frac{1}{x^2 — 1}$ убывает.
• На интервале $(-1, 1)$, где $x^2 — 1 < 0$, функция $y = \frac{1}{x^2 — 1}$ возрастает.

Ответ:

• Функция $y = \frac{1}{x^2 — 1}$ возрастает на интервале $(-\infty, -1) \cup (-1, 0]$ и убывает на интервале $[0, 1) \cup (1, +\infty)$.

г) $y = \frac{1}{x^2 — 4x — 12}$

1. Рассмотрим функцию:

$$y = x^2 — 4x — 12$$

Это парабола, которую можно переписать в виде:

$$y = (x — 2)^2 — 16$$

Здесь видно, что вершина параболы $x_0 = 2$, и её минимальное значение — это $-16$.

2. Исследуем знак функции:

Парабола $y = x^2 — 4x — 12$ принимает положительные значения на интервалах $(-\infty, -2) \cup (6, +\infty)$, и отрицательные значения на интервале $(-2, 6)$.

3. Определяем монотонность функции $y = x^2 — 4x — 12$:

• На интервале $[2, +\infty)$, функция возрастает, так как $x^2 — 4x — 12$ увеличивается при $x > 2$.
• На интервале $(-\infty, 2]$, функция убывает, так как $x^2 — 4x — 12$ уменьшается при $x < 2$.

4. Рассматриваем функцию $y = \frac{1}{x^2 — 4x — 12}$:

• На интервале $(-\infty, -2) \cup (6, +\infty)$, где $x^2 — 4x — 12 > 0$, функция $y = \frac{1}{x^2 — 4x — 12}$ убывает.
• На интервале $(-2, 6)$, где $x^2 — 4x — 12 < 0$, функция $y = \frac{1}{x^2 — 4x — 12}$ возрастает.

Ответ:

• Функция $y = \frac{1}{x^2 — 4x — 12}$ возрастает на интервале $(-\infty, -2) \cup (-2, 2]$ и убывает на интервале $[2, 6) \cup (6, +\infty)$.