ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите промежутки монотонности функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

а) Рисунок 18

б) Рисунок 19

в) Рисунок 20

г) Рисунок 21

На рисунке изображена функция $y = f(x)$, найти промежутки монотонности функции $y = \frac{1}{f(x)}$;

а) Рисунок 18:

• Возрастает на $[-1; 0] \cup [2; 3]$ и убывает на $[-3; -1] \cup [0; 2]$;
• Принимает положительные значения на $[-3; 3]$;

Ответ: возрастает на $[-3; -1] \cup [0; 2]$;
убывает на $[-1; 0] \cup [2; 3]$.

б) Рисунок 19:

• Возрастает на $[-1; 1]$ и убывает на $[-2; -1] \cup [1; 3]$;
• Принимает отрицательные значения на $[-2; 3]$;

Ответ: возрастает на $[-2; -1] \cup [1; 3]$;
убывает на $[-1; 1]$.

в) Рисунок 20:

• Возрастает на $[1; 3]$, убывает на $[-1; 1]$ и постоянна на $[-3; -1]$;
• Принимает положительные значения на $[-3; 0) \cup (2; 3]$;
• Принимает отрицательные значения на $(0; 1)$;

Ответ: возрастает на $[-1; 0) \cup (0; 1]$;
убывает на $[1; 2) \cup (2; 3]$;
постоянна на $[-3; -1]$.

г) Рисунок 21:

• Возрастает на $[-3; -1] \cup [1; 3]$ и убывает на $[-1; 1]$;
• Принимает положительные значения на $(-2; 0) \cup (2; 3]$;
• Принимает отрицательные значения на $[-3; -2) \cup (0; 2)$;

Ответ: возрастает на $[-1; 0) \cup (0; 1]$;
убывает на $[-3; -2) \cup (-2; -1] \cup [1; 2) \cup (2; 3]$.

На рисунке изображена функция $y = f(x)$, и нам нужно найти промежутки монотонности функции $y = \frac{1}{f(x)}$.

а) Рисунок 18

1. Анализируем график функции $f(x)$:

• $f(x)$ возрастает на интервалах $[-1; 0]$ и $[2; 3]$.
• $f(x)$ убывает на интервалах $[-3; -1]$ и $[0; 2]$.
• Функция $f(x)$ принимает положительные значения на интервале $[-3; 3]$.

2. Монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

Функция $y = \frac{1}{f(x)}$ будет возрастать, когда $f(x)$ убывает, и убывать, когда $f(x)$ возрастает, так как дробь с уменьшающимся знаменателем возрастает, а с увеличивающимся — убывает.

• На интервале $[-3; -1]$, где $f(x)$ убывает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет возрастать.
• На интервале $[0; 2]$, где $f(x)$ убывает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет возрастать.
• На интервале $[-1; 0]$, где $f(x)$ возрастает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет убывать.
• На интервале $[2; 3]$, где $f(x)$ возрастает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет убывать.

Ответ:

• $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на интервалах $[-3; -1] \cup [0; 2]$.
• $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на интервалах $[-1; 0] \cup [2; 3]$.

б) Рисунок 19

1. Анализируем график функции $f(x)$:

• $f(x)$ возрастает на интервале $[-1; 1]$.
• $f(x)$ убывает на интервалах $[-2; -1]$ и $[1; 3]$.
• Функция $f(x)$ принимает отрицательные значения на интервале $[-2; 3]$.

2. Монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

• На интервале $[-2; -1]$, где $f(x)$ убывает (и $f(x)$ отрицателен), функция $y = \frac{1}{f(x)}$ будет возрастать, так как знаменатель убывает и меняет знак на отрицательный.
• На интервале $[1; 3]$, где $f(x)$ убывает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет возрастать, так как знаменатель меняется на отрицательный.
• На интервале $[-1; 1]$, где $f(x)$ возрастает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет убывать, так как знаменатель возрастает.

Ответ:

• $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на интервалах $[-2; -1] \cup [1; 3]$.
• $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на интервале $[-1; 1]$.

в) Рисунок 20

1. Анализируем график функции $f(x)$:

• $f(x)$ возрастает на интервале $[1; 3]$.
• $f(x)$ убывает на интервале $[-1; 1]$.
• $f(x)$ постоянна на интервале $[-3; -1]$.
• Функция $f(x)$ принимает положительные значения на интервале $[-3; 0) \cup (2; 3]$.
• Функция $f(x)$ принимает отрицательные значения на интервале $(0; 1)$.

2. Монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

• На интервале $[-3; -1]$, где $f(x)$ постоянна, $y = \frac{1}{f(x)}$ тоже будет постоянна.
• На интервале $[-1; 0)$, где $f(x)$ убывает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет возрастать, так как $f(x)$ отрицательно и убывает.
• На интервале $(0; 1)$, где $f(x)$ убывает и отрицательна, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет возрастать, так как дробь с отрицательным знаменателем убывает.
• На интервале $[1; 2)$, где $f(x)$ возрастает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет убывать.
• На интервале $(2; 3]$, где $f(x)$ возрастает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет убывать.

Ответ:

• $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на интервалах $[-1; 0) \cup (0; 1]$.
• $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на интервалах $[1; 2) \cup (2; 3]$.
• $y = \frac{1}{f(x)}$ постоянна на интервале $[-3; -1]$.

г) Рисунок 21

1. Анализируем график функции $f(x)$:

• $f(x)$ возрастает на интервалах $[-3; -1]$ и $[1; 3]$.
• $f(x)$ убывает на интервалах $[-1; 1]$.
• Функция $f(x)$ принимает положительные значения на интервалах $(-2; 0) \cup (2; 3]$.
• Функция $f(x)$ принимает отрицательные значения на интервалах $[-3; -2) \cup (0; 2)$.

2. Монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$:

• На интервале $[-3; -2)$, где $f(x)$ убывает и отрицательно, функция $y = \frac{1}{f(x)}$ будет возрастать.
• На интервале $[-2; -1]$, где $f(x)$ убывает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет возрастать.
• На интервале $[1; 2)$, где $f(x)$ возрастает и положительна, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет убывать.
• На интервале $[2; 3]$, где $f(x)$ возрастает, $y = \frac{1}{f(x)}$ будет убывать.

Ответ:

• $y = \frac{1}{f(x)}$ возрастает на интервалах $[-1; 0) \cup (0; 1]$.
• $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает на интервалах $[-3; -2) \cup (-2; -1] \cup [1; 2) \cup (2; 3]$.

Итог:

1. Мы проанализировали каждый график функции $f(x)$, выявили, где она возрастает и убывает, и определили, как это влияет на монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$.
2. Мы использовали ключевое правило: если $f(x)$ возрастает, то $y = \frac{1}{f(x)}$ убывает, и наоборот.
3. Для каждого из случаев мы тщательно исследовали интервалы, где функция $f(x)$ меняет знак, и это определяло монотонность функции $y = \frac{1}{f(x)}$ на соответствующих интервалах.