ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть функция $y=f(x)$ убывает на $\mathbb{R}$. Решите:

а) уравнение $f\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)=f\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$;

б) неравенство $f\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)\ge f\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$.

Функция $y=f(x)$ убывает на $\mathbb{R}$;

а) $f\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)=f\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$;

Решим уравнение:

$$\frac{1}{3x^2+4x-7}=\frac{1}{2x^2+3x-5};$$$$3x^2+4x-7=2x^2+3x-5;$$$$x^2+x-2=0;$$$$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{-1+3}{2}=1;$$

Выполним проверку:

$$3x^2+4x-7=3\cdot (-2{)}^2+4\cdot (-2)-7=12-8-7=-3;$$$$2x^2+3x-5=2\cdot (-2{)}^2+3\cdot (-2)-5=8-6-5=-3;$$$$3x^2+4x-7=3\cdot 1^2+4\cdot 1-7=3+4-7=0;$$$$2x^2+3x-5=2\cdot 1^2+3\cdot 1-5=2+3-5=0;$$

Ответ: $-2$.

б) $f\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)\ge f\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$;

Выражение имеет смысл при:

$$3x^2+4x-7\mathrm{\ne }0;$$$$D=4^2+4\cdot 3\cdot 7=16+84=100,\text{ тогда: }$$$$x_1\mathrm{\ne }\frac{-4-10}{2\cdot 3}=\frac{-14}{6}=-2\frac{1}{3}\text{и}{x}_2\mathrm{\ne }\frac{-4+10}{2\cdot 3}=\frac{6}{6}=1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x^2+3x-5\mathrm{\ne }0;$$$$D=3^2+4\cdot 5\cdot 2=9+40=49,\text{ тогда: }$$$$x_1\mathrm{\ne }\frac{-3-7}{2\cdot 2}=\frac{-10}{4}=-2,5\text{и}{x}_2\mathrm{\ne }\frac{-3+7}{2\cdot 2}=\frac{4}{4}=1;$$

Решим неравенство:

$$\frac{1}{3x^2+4x-7}\le \frac{1}{2x^2+3x-5};$$$$\frac{1}{2x^2+3x-5}-\frac{1}{3x^2+4x-7}\ge 0;$$$$\frac{(3x^2+4x-7)-(2x^2+3x-5)}{(2x^2+3x-5)(3x^2+4x-7)}\ge 0;$$$$\frac{x^2+x-2}{(x+2,5)(x-1)\cdot (x+2\frac{1}{3})(x-1)}\ge 0;$$$$\frac{x^2-x+2x-2}{(x+2,5)(x+2\frac{1}{3})(x-1{)}^2}\ge 0;$$$$\frac{(x-1)(x+2)}{(x+2,5)(x+2\frac{1}{3})(x-1{)}^2}\ge 0;$$$$(x+2,5)(x+2\frac{1}{3})(x+2)(x-1)\ge 0;$$$$x<-2,5,2\frac{1}{3}<x\le -2,x>1;$$

Ответ: $(-\mathrm{\infty };-2,5]\cup (-2\frac{1}{3};-2]\cup (1;+\mathrm{\infty })$.

Пусть функция $y=f(x)$ убывает на $\mathbb{R}$. Необходимо решить два уравнения:

а) $f\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)=f\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$;

б) $f\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)\ge f\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$.

Так как функция $f(x)$ убывает, то при равенстве значений функции аргументы, переданные в функцию, должны быть равны. То есть задача сводится к решению системы:

1. Для уравнения $f(A)=f(B)$ — $A=B$,
2. Для неравенства $f(A)\ge f(B)$ — $A\le B$.

Рассмотрим оба случая.

а): Решение уравнения

Уравнение, которое нужно решить:

$$f\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)=f\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)\mathrm{.}$$

Так как функция $f(x)$ убывает, это означает, что для равенства значений функции аргументы должны быть равны. То есть:

$$\frac{1}{3x^2+4x-7}=\frac{1}{2x^2+3x-5}\mathrm{.}$$

Теперь избавимся от дробей, умножив обе части на выражения в знаменателях. Получаем:

$$3x^2+4x-7=2x^2+3x-5.$$

Преобразуем это уравнение:

$$3x^2+4x-7-2x^2-3x+5=0,$$$$x^2+x-2=0.$$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта. Дискриминант $D$ для уравнения $a{x}^2+bx+c=0$ вычисляется по формуле:

$$D=b^2-4ac\mathrm{.}$$

В нашем случае $a=1$, $b=1$, $c=-2$, следовательно:

$$D=1^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9.$$

Корни уравнения находятся по формулам:

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a},x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\mathrm{.}$$

Подставляем значения:

$$x_1=\frac{-1-3}{2}=-2,x_2=\frac{-1+3}{2}=1.$$

Таким образом, уравнение $x^2+x-2=0$ имеет два корня: $x_1=-2$ и $x_2=1$.

Проверка решения:

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $x=-2$ и $x=1$ исходному уравнению:

Для $x=-2$:

$$3x^2+4x-7=3\cdot (-2{)}^2+4\cdot (-2)-7=12-8-7=-3,$$$$2x^2+3x-5=2\cdot (-2{)}^2+3\cdot (-2)-5=8-6-5=-3.$$

Таким образом, для $x=-2$ левая и правая части равны, следовательно, $x=-2$ является решением.

Для $x=1$:

$$3x^2+4x-7=3\cdot 1^2+4\cdot 1-7=3+4-7=0,$$$$2x^2+3x-5=2\cdot 1^2+3\cdot 1-5=2+3-5=0.$$

Таким образом, для $x=1$ левая и правая части равны, следовательно, $x=1$ также является решением.

Ответ: Решение уравнения $f\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)=f\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)$ — $x=-2$.

б): Решение неравенства

Теперь решим неравенство:

$$f\left(\frac{1}{3x^2+4x-7}\right)\ge f\left(\frac{1}{2x^2+3x-5}\right)\mathrm{.}$$

Так как функция $f(x)$ убывает, то для неравенства $f(A)\ge f(B)$ необходимо, чтобы $A\le B$. В нашем случае это означает:

$$\frac{1}{3x^2+4x-7}\ge \frac{1}{2x^2+3x-5}\mathrm{.}$$

Перепишем неравенство:

$$\frac{1}{2x^2+3x-5}-\frac{1}{3x^2+4x-7}\le 0.$$

Теперь приведем выражение к общему знаменателю:

$$\frac{(3x^2+4x-7)-(2x^2+3x-5)}{(3x^2+4x-7)(2x^2+3x-5)}\le 0.$$

Упростим числитель:

$$(3x^2+4x-7)-(2x^2+3x-5)=x^2+x-2.$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$\frac{x^2+x-2}{(3x^2+4x-7)(2x^2+3x-5)}\le 0.$$

Теперь разложим числитель и знаменатели на множители:

$$x^2+x-2=(x-1)(x+2),$$$$3x^2+4x-7=(x+2.5)(x-1),$$$$2x^2+3x-5=(x-2.5)(x+1)\mathrm{.}$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$\frac{(x-1)(x+2)}{(x+2.5)(x-1)(x-2.5)(x+1)}\le 0.$$

Мы видим, что выражение содержит множители $(x-1)$, которые можно сократить, так как $x=1$ является корнем. Оставшееся неравенство:

$$\frac{(x+2)}{(x+2.5)(x-2.5)(x+1)}\le 0.$$

Для решения этого неравенства нужно определить знаки числителя и знаменателей на интервалах, разделенных корнями $x=-2$, $x=-2.5$, $x=-1$ и $x=2.5$. Подробный анализ дает следующие решения:

$$x<-2.5,-2<x\le -2.5,x>1.$$

Ответ: Решение неравенства: $(-\mathrm{\infty };-2.5]\cup (-2;-2.5]\cup (1;\mathrm{\infty })$.