ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите:

а) если функция у = f(x) возрастает или убывает на промежутке X, то уравнение f(x) = а не может иметь более одного корня на X;

б) если функция у = f(x) возрастает на промежутке X, а функция у = g(x) убывает на промежутке X, то уравнение f(x) = g(x) не может иметь более одного корня на X.

а) Доказать, что если функция $y = f(x)$ возрастает или убывает на промежутке $X$, то уравнение $f(x) = a$ не может иметь более одного корня на $X$;

Пусть уравнение $f(x) = a$ имеет два различных корня, тогда:
$f(x_1) = a \quad \text{и} \quad f(x_2) = a;$
$f(x_1) = f(x_2);$
$x_1 = x_2;$

Возникло противоречие, значит данное уравнение может иметь только одно решение, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$, а функция $y = g(x)$ убывает на $X$, то уравнение $f(x) = g(x)$ не может иметь более одного корня на $X$;

Пусть уравнение $f(x) = g(x)$ имеет два различных корня, тогда:
$f(x_1) = g(x_1) \quad \text{и} \quad f(x_2) = g(x_2);$

Первый случай:
$x_1 < x_2;$
$f(x_1) < f(x_2) \quad \text{и} \quad g(x_1) > g(x_2);$
$f(x_1) < f(x_2) = g(x_2) < g(x_1);$
$f(x_1) < g(x_1);$

Второй случай:
$x_1 > x_2;$
$f(x_1) > f(x_2) \quad \text{и} \quad g(x_1) < g(x_2);$
$f(x_2) < f(x_1) = g(x_1) < g(x_2);$
$f(x_2) < g(x_2);$

В любом случае возникает противоречие, значит данное уравнение может иметь только одно решение, что и требовалось доказать.

а) Доказать, что если функция $y = f(x)$ возрастает или убывает на промежутке $X$, то уравнение $f(x) = a$ не может иметь более одного корня на $X$;

Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим два случая: когда функция $f(x)$ возрастает и когда функция $f(x)$ убывает на промежутке $X$. Начнём с общего утверждения, что функция $f(x)$ может быть как возрастающей, так и убывающей на промежутке $X$.

1) Предположим, что у уравнения $f(x) = a$ есть два различных корня на промежутке $X$. Обозначим эти корни как $x_1$ и $x_2$, где $x_1 \neq x_2$. Таким образом, мы имеем следующее:

$$f(x_1) = a \quad \text{и} \quad f(x_2) = a$$

Здесь мы записали, что на обоих значениях $x_1$ и $x_2$ функция принимает значение $a$.

2) Теперь, так как функция $f(x)$ либо возрастает, либо убывает на промежутке $X$, это означает, что она не может принимать одно и то же значение на разных точках, если эти точки различны. Допустим, что $f(x)$ возрастает на промежутке $X$. Тогда:

• Если $x_1 < x_2$, то $f(x_1) < f(x_2)$, но у нас по условию $f(x_1) = f(x_2) = a$, что даёт противоречие, так как $f(x_1)$ не может быть меньше $f(x_2)$.
• Если $x_1 > x_2$, то аналогично $f(x_1) > f(x_2)$, и снова возникает противоречие.

Таким образом, мы приходим к противоречию, так как функция не может иметь два разных корня с одинаковыми значениями $a$, если она строго возрастает или убывает.

3) Следовательно, уравнение $f(x) = a$ может иметь не более одного корня на промежутке $X$. Это и требовалось доказать.

б) Доказать, что если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$, а функция $y = g(x)$ убывает на $X$, то уравнение $f(x) = g(x)$ не может иметь более одного корня на $X$;

Теперь докажем, что если функция $f(x)$ возрастает на промежутке $X$, а функция $g(x)$ убывает на этом же промежутке, то уравнение $f(x) = g(x)$ не может иметь более одного корня на $X$.

1) Предположим, что у уравнения $f(x) = g(x)$ есть два различных корня на промежутке $X$. Обозначим эти корни как $x_1$ и $x_2$, где $x_1 \neq x_2$. Таким образом, мы имеем:

$$f(x_1) = g(x_1) \quad \text{и} \quad f(x_2) = g(x_2)$$

Это значит, что в точках $x_1$ и $x_2$ функции $f(x)$ и $g(x)$ принимают одинаковые значения.

2) Рассмотрим два случая:

Первый случай: $x_1 < x_2$.

• Поскольку функция $f(x)$ возрастает на промежутке $X$, то из $x_1 < x_2$ следует, что $f(x_1) < f(x_2)$.
• Поскольку функция $g(x)$ убывает на промежутке $X$, то из $x_1 < x_2$ следует, что $g(x_1) > g(x_2)$.

Таким образом, из того, что $f(x_1) = g(x_1)$ и $f(x_2) = g(x_2)$, мы получаем следующую цепочку неравенств:

$$f(x_1) = g(x_1) < g(x_2) = f(x_2)$$

Но это противоречит тому, что $f(x_1) < f(x_2)$, а $g(x_1) > g(x_2)$, так как из условий возрастающей функции $f(x)$ и убывающей функции $g(x)$ следует, что не может быть ситуации, при которой $f(x_1) < g(x_1)$ и $f(x_2) > g(x_2)$.

Второй случай: $x_1 > x_2$.

• Поскольку функция $f(x)$ возрастает на промежутке $X$, то из $x_1 > x_2$ следует, что $f(x_1) > f(x_2)$.
• Поскольку функция $g(x)$ убывает на промежутке $X$, то из $x_1 > x_2$ следует, что $g(x_1) < g(x_2)$.

Таким образом, из того, что $f(x_1) = g(x_1)$ и $f(x_2) = g(x_2)$, мы получаем следующую цепочку неравенств:

$$f(x_2) = g(x_2) < g(x_1) = f(x_1)$$

Но это противоречит тому, что $f(x_1) > f(x_2)$, а $g(x_1) < g(x_2)$, так как из условий возрастающей функции $f(x)$ и убывающей функции $g(x)$ также не может быть ситуации, при которой $f(x_2) > g(x_2)$ и $f(x_1) < g(x_1)$.

3) В обоих случаях мы пришли к противоречию. Следовательно, уравнение $f(x) = g(x)$ не может иметь более одного корня на промежутке $X$.

Это и требовалось доказать.