ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $x^3 = 2 — x$;

б) $x^3 = 10 — x$;

в) $\sqrt{x + 1} = 5 — x$;

г) $3x = \sqrt{10 — x}$

Все уравнения имеют не более одного решения:

а) $x^3 = 2 — x$;

$f(x) = x^3$;
$a = 1 > 0$ — функция возрастает;

$g(x) = 2 — x$;
$k = -1 < 0$ — функция убывает;

Методом перебора:
$f(1) = 1^3 = 1$ и $g(1) = 2 — 1 = 1$;

Ответ: $x = 1$.

б) $x^3 = 10 — x$;

$f(x) = x^3$;
$a = 1 > 0$ — функция возрастает;

$g(x) = 2 — x$;
$k = -1 < 0$ — функция убывает;

Методом перебора:
$f(1) = 1^3 = 1$ и $g(1) = 10 — 1 = 9$;
$f(2) = 2^3 = 8$ и $g(2) = 10 — 2 = 8$;

Ответ: $x = 2$.

в) $\sqrt{x + 1} = 5 — x$;

$f(x) = \sqrt{x + 1}$;
$k = 1 > 0$ — функция возрастает;

$g(x) = 5 — x$;
$k = -1 < 0$ — функция убывает;

Методом перебора:
$f(1) = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ и $g(1) = 5 — 1 = 4$;
$f(2) = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$ и $g(2) = 5 — 2 = 3$;
$f(3) = \sqrt{3 + 1} = 2$ и $g(3) = 5 — 3 = 2$;

Ответ: $x = 3$.

г) $3x = \sqrt{10 — x}$;

$f(x) = 3x$;
$k = 3 > 0$ — функция возрастает;

$g(x) = 10 — x$;
$k = -1 < 0$ — функция убывает;

Методом перебора:
$f(1) = 3 \cdot 1 = 3$ и $g(1) = \sqrt{10 — 1} = \sqrt{9} = 3$;

Ответ: $x = 1$.

а) $x^3 = 2 — x$;

Для этого уравнения рассмотрим обе функции по отдельности:

Функция $f(x) = x^3$

Это кубическая функция. Ее производная:

$$f'(x) = 3x^2$$

Так как $f'(x) = 3x^2$ всегда неотрицательна и $f'(x) > 0$ для всех $x \neq 0$, эта функция строго возрастает для всех значений $x$. В частности, на промежутке $(-\infty, \infty)$ функция $f(x)$ будет возрастать, что означает, что она не может принимать одно и то же значение для разных $x$. Таким образом, $f(x)$ — возрастающая функция.

Функция $g(x) = 2 — x$

Это линейная функция, и ее производная:

$$g'(x) = -1$$

Так как производная $g'(x)$ всегда отрицательна, эта функция убывает на всей числовой оси. Следовательно, функция $g(x)$ строго убывает.

Решение уравнения методом перебора:

Подставим различные значения $x$ в уравнение $x^3 = 2 — x$ и проверим, когда обе функции равны.

• Для $x = 1$:

  $$f(1) = 1^3 = 1 \quad \text{и} \quad g(1) = 2 — 1 = 1$$

  Видим, что для $x = 1$, $f(1) = g(1) = 1$, что означает, что $x = 1$ — это решение уравнения.

Поскольку функция $f(x)$ возрастает, а функция $g(x)$ убывает, уравнение не может иметь более одного корня, и $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x = 1$.

б) $x^3 = 10 — x$;

Аналогично предыдущему, рассмотрим обе функции:

Функция $f(x) = x^3$

Производная функции:

$$f'(x) = 3x^2$$

Поскольку производная всегда неотрицательна и функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой оси, $f(x)$ — возрастающая функция.

Функция $g(x) = 10 — x$

Производная функции:

$$g'(x) = -1$$

Поскольку производная всегда отрицательна, функция $g(x)$ строго убывает на всей числовой оси.

Решение уравнения методом перебора:

Подставим различные значения $x$ в уравнение $x^3 = 10 — x$:

• Для $x = 1$:

  $$f(1) = 1^3 = 1 \quad \text{и} \quad g(1) = 10 — 1 = 9$$

  Видим, что $f(1) \neq g(1)$.

• Для $x = 2$:

  $$f(2) = 2^3 = 8 \quad \text{и} \quad g(2) = 10 — 2 = 8$$

  Видим, что $f(2) = g(2) = 8$, то есть $x = 2$ — это решение уравнения.

Как и в предыдущем случае, функция $f(x)$ возрастает, а функция $g(x)$ убывает, поэтому уравнение может иметь только одно решение.

Ответ: $x = 2$.

в) $\sqrt{x + 1} = 5 — x$;

Функция $f(x) = \sqrt{x + 1}$

Это функция квадратного корня. Для этой функции рассмотрим ее производную:

$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$$

Поскольку производная всегда положительна для $x > -1$, функция $f(x)$ строго возрастает на промежутке $(-1, \infty)$

Функция $g(x) = 5 — x$

Производная функции:

$$g'(x) = -1$$

Поскольку производная всегда отрицательна, функция $g(x)$ строго убывает на всей числовой оси.

Решение уравнения методом перебора:

Подставим различные значения $x$ в уравнение $\sqrt{x + 1} = 5 — x$:

• Для $x = 1$:

  $$f(1) = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \quad \text{и} \quad g(1) = 5 — 1 = 4$$

  Видим, что $f(1) \neq g(1)$.

• Для $x = 2$:

  $$f(2) = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3} \quad \text{и} \quad g(2) = 5 — 2 = 3$$

  Видим, что $f(2) \neq g(2)$.

• Для $x = 3$:

  $$f(3) = \sqrt{3 + 1} = 2 \quad \text{и} \quad g(3) = 5 — 3 = 2$$

  Видим, что $f(3) = g(3) = 2$, то есть $x = 3$ — это решение уравнения.

Так как функция $f(x)$ возрастает, а функция $g(x)$ убывает, уравнение не может иметь более одного корня, и $x = 3$ — единственное решение.

Ответ: $x = 3$.

г) $3x = \sqrt{10 — x}$;

Функция $f(x) = 3x$

Производная функции:

$$f'(x) = 3$$

Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой оси.

Функция $g(x) = \sqrt{10 — x}$

Производная функции:

$$g'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{10 — x}}$$

Поскольку производная всегда отрицательна, функция $g(x)$ строго убывает на промежутке $(-\infty, 10)$.

Решение уравнения методом перебора:

Подставим различные значения $x$ в уравнение $3x = \sqrt{10 — x}$:

• Для $x = 1$:

  $$f(1) = 3 \cdot 1 = 3 \quad \text{и} \quad g(1) = \sqrt{10 — 1} = \sqrt{9} = 3$$

  Видим, что $f(1) = g(1) = 3$, то есть $x = 1$ — это решение уравнения.

Так как функция $f(x)$ возрастает, а функция $g(x)$ убывает, уравнение не может иметь более одного корня, и $x = 1$ — единственное решение.

Ответ: $x = 1$.