ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=23-2x$;

б) $\frac{5}{x+1}=8\sqrt{x}$;

в) $\sqrt{x}+\sqrt{x-3}=43-6x-x^2$;

г) $(x^2+4x+9)\sqrt{4x+1}=9$

Все уравнения имеют не более одного решения:

а) $\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=23-2x$;

1. $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x-5}$;
   $k_1=1>0$ — функция возрастает;
   $k_2=1>0$ — функция возрастает;
   $f(x)$ — возрастает;
2. $g(x)=23-2x$;
   $k=-2<0$ — функция убывает;
3. Методом перебора:
   $f(9)=\sqrt{9}+\sqrt{9-5}=3+2=5$;
   $g(9)=23-2\cdot 9=23-18=5$;
   Ответ: $x=9$.

б) $\frac{5}{x+1}=8\sqrt{x}$;

1. $f(x)=\frac{5}{x+1}$;
   $k_1=1>0$ — функция возрастает;
   $f(x)$ — убывает;
2. $g(x)=8\sqrt{x}$;
   $k=1>0$ — функция возрастает;
3. Методом перебора:
   $f(1)=\frac{5}{1+1}=\frac{5}{2}$ и $g(1)=8\cdot \sqrt{1}=8$;
   $f(0)=\frac{5}{0+1}=5$ и $g(0)=8\cdot \sqrt{0}=0$;
   $f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{0,25+1}=4$ и $g\left(\frac{1}{4}\right)=8\cdot \sqrt{\frac{1}{4}}=4$;
   Ответ: $x=\frac{1}{4}$.

в) $\sqrt{x}+\sqrt{x-3}=43-6x-x^2$;

1. $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x-3}$;$$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x-3\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\ge 3\end{array}\Rightarrow x\ge 3;$$$k_1=1>0$ — функция возрастает;
   $k_2=1>0$ — функция возрастает;
   $f(x)$ — возрастает на $[3;+\mathrm{\infty })$;
2. $g(x)=43-6x-x^2$;
   $a=-1<0$ — ветви направлены вниз;
   $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot (-1)}=-\frac{6}{2}=-3$;
   $g(x)$ — убывает на $[-3;+\mathrm{\infty })$;
3. Методом перебора:
   $f(4)=\sqrt{4}+\sqrt{4-3}=2+1=3$;
   $g(4)=43-6\cdot 4-4^2=43-24-16=3$;
   Ответ: $x=4$.

г) $(x^2+4x+9)\sqrt{4x+1}=9$;
$\frac{9}{\sqrt{4x+1}}=x^2+4x+9$;

1. $f(x)=\frac{9}{\sqrt{4x+1}}$;
   $4x+1\ge 0\Rightarrow 4x\ge -1\Rightarrow x\ge -\frac{1}{4}$;
   $k_1=4>0$ — функция возрастает;
   $f(x)$ — убывает на $[-\frac{1}{4};+\mathrm{\infty })$;
2. $g(x)=x^2+4x+9$;
   $a=1>0$ — ветви направлены вверх;
   $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-\frac{4}{2}=-2$;
   $g(x)$ — возрастает на $[-2;+\mathrm{\infty })$;
3. Методом перебора:
   $f(0)=\frac{9}{\sqrt{4\cdot 0+1}}=\frac{9}{\sqrt{1}}=9$;
   $g(0)=0^2+4\cdot 0+9=9$;
   Ответ: $x=0$.

а) $\sqrt{x}+\sqrt{x-5}=23-2x$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x-5}$:

• Для того чтобы $f(x)$ была определена, должно выполняться $x\ge 5$, так как $\sqrt{x}$ определена для $x\ge 0$, а $\sqrt{x-5}$ для $x\ge 5$.
• $k_1=1>0$ — производная $f(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x-5}}$ на отрезке $[5,+\mathrm{\infty })$ всегда положительна, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.
• $f(x)$ возрастает на $[5,+\mathrm{\infty })$.

Функция $g(x)=23-2x$:

• Эта функция является линейной, и её график — прямая с отрицательным угловым коэффициентом. То есть $k=-2<0$, следовательно, $g(x)$ убывает на всей своей области определения.

Шаг 2: Метод перебора.

Метод перебора заключается в подставлении различных значений $x$ в обе функции и проверке равенства.

• Подставим $x=9$ в обе функции:$$f(9)=\sqrt{9}+\sqrt{9-5}=3+2=5$$$$g(9)=23-2\cdot 9=23-18=5$$

  Видим, что $f(9)=g(9)=5$.

Ответ: $x=9$.

б) $\frac{5}{x+1}=8\sqrt{x}$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $f(x)=\frac{5}{x+1}$:

• Для того чтобы эта функция была определена, необходимо $x\mathrm{\ne }-1$, так как знаменатель не может быть равен нулю.
• Рассмотрим производную $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{5}{(x+1{)}^2}$, которая всегда отрицательна, следовательно, $f(x)$ убывает на своей области определения.

Функция $g(x)=8\sqrt{x}$:

• Эта функция определена для $x\ge 0$, так как квадратный корень от отрицательных чисел не существует в действительных числах.
• Производная $g^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}$, которая всегда положительна для $x>0$, следовательно, функция возрастает на $[0,+\mathrm{\infty })$.

Шаг 2: Метод перебора.

• Подставим $x=1$:$$f(1)=\frac{5}{1+1}=\frac{5}{2}=2.5,g(1)=8\cdot \sqrt{1}=8$$

  Равенства не получается.

• Подставим $x=0$:$$f(0)=\frac{5}{0+1}=5,g(0)=8\cdot \sqrt{0}=0$$

  Равенства не получается.

• Подставим $x=\frac{1}{4}$:$$f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{0.25+1}=\frac{5}{1.25}=4,g\left(\frac{1}{4}\right)=8\cdot \sqrt{\frac{1}{4}}=8\cdot \frac{1}{2}=4$$

  Равенство выполняется.

Ответ: $x=\frac{1}{4}$.

в) $\sqrt{x}+\sqrt{x-3}=43-6x-x^2$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{x-3}$:

• Для того чтобы $f(x)$ была определена, необходимо $x\ge 3$, так как $\sqrt{x}$ определена для $x\ge 0$, а $\sqrt{x-3}$ — для $x\ge 3$.
• $k_1=1>0$ — производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$ на отрезке $[3,+\mathrm{\infty })$ всегда положительна, следовательно, функция возрастает на этом промежутке.
• $f(x)$ возрастает на $[3,+\mathrm{\infty })$.

Функция $g(x)=43-6x-x^2$:

• Эта функция является квадратичной. Коэффициент при $x^2$ отрицателен, следовательно, график будет иметь форму параболы, ветви которой направлены вниз.
• Вершина параболы находится в точке $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot (-1)}=-3$.
• $g(x)$ убывает на $(-\mathrm{\infty },-3]$ и возрастает на $[-3,+\mathrm{\infty })$.

Шаг 2: Метод перебора.

• Подставим $x=4$:$$f(4)=\sqrt{4}+\sqrt{4-3}=2+1=3,g(4)=43-6\cdot 4-4^2=43-24-16=3$$

  Равенство выполняется.

Ответ: $x=4$.

г) $(x^2+4x+9)\sqrt{4x+1}=9$ и $\frac{9}{\sqrt{4x+1}}=x^2+4x+9$

Шаг 1: Исследуем функции.

Функция $f(x)=\frac{9}{\sqrt{4x+1}}$:

• Для того чтобы функция была определена, необходимо, чтобы $4x+1\ge 0$, то есть $x\ge -\frac{1}{4}$.
• Производная $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{18}{(4x+1{)}^{3\mathrm{/}2}}$, которая всегда отрицательна на $[-\frac{1}{4},+\mathrm{\infty })$, следовательно, $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Функция $g(x)=x^2+4x+9$:

• Это квадратичная функция с положительным коэффициентом при $x^2$, следовательно, график будет параболой, ветви которой направлены вверх.
• Вершина параболы находится в точке $x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2$.
• Функция возрастает на $[-2,+\mathrm{\infty })$.

Шаг 2: Метод перебора.

• Подставим $x=0$:$$f(0)=\frac{9}{\sqrt{4\cdot 0+1}}=\frac{9}{\sqrt{1}}=9,g(0)=0^2+4\cdot 0+9=9$$

  Равенство выполняется.

Ответ: $x=0$.