ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.2 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a > 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на $X$.

б) Если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a < 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на $X$.

в) Если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a > 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на $X$.

г) Если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a < 0$, то при любом значении $b$ функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на $X$.

а) Если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a > 0$, тогда функция $y = a \cdot f(x) + b$ также возрастает на $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$f(x_2) > f(x_1);$$ $$a \cdot f(x_2) > a \cdot f(x_1);$$ $$a \cdot f(x_2) + b > a \cdot f(x_1) + b;$$ $$y(x_2) > y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

б) Если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a < 0$, тогда функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$f(x_2) < f(x_1);$$ $$a \cdot f(x_2) > a \cdot f(x_1);$$ $$a \cdot f(x_2) + b > a \cdot f(x_1) + b;$$ $$y(x_2) > y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

в) Если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a > 0$, тогда функция $y = a \cdot f(x) + b$ также убывает на $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$f(x_2) < f(x_1);$$ $$a \cdot f(x_2) < a \cdot f(x_1);$$ $$a \cdot f(x_2) + b < a \cdot f(x_1) + b;$$ $$y(x_2) < y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

г) Если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a < 0$, тогда функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$f(x_2) > f(x_1);$$ $$a \cdot f(x_2) < a \cdot f(x_1);$$ $$a \cdot f(x_2) + b < a \cdot f(x_1) + b;$$ $$y(x_2) < y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

а) Если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a > 0$, тогда функция $y = a \cdot f(x) + b$ также возрастает на $X$:

Пусть $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$, что означает, что для любых $x_1, x_2 \in X$, если $x_2 > x_1$, то выполняется неравенство:

$$f(x_2) > f(x_1).$$

Теперь рассмотрим новую функцию $y = a \cdot f(x) + b$, где $a > 0$. Нам нужно доказать, что эта функция также возрастает на том же промежутке $X$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из промежутка $X$, причем $x_2 > x_1$. Поскольку функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$, то по условию задачи выполняется:

$$f(x_2) > f(x_1).$$

Умножим обе части неравенства $f(x_2) > f(x_1)$ на положительное число $a$. Поскольку $a > 0$, то знак неравенства не изменится:

$$a \cdot f(x_2) > a \cdot f(x_1).$$

Теперь прибавим к обеим частям неравенства константу $b$. Поскольку добавление постоянной величины $b$ к обеим частям неравенства не влияет на его знак, то получим:

$$a \cdot f(x_2) + b > a \cdot f(x_1) + b.$$

Обозначим $y(x_2) = a \cdot f(x_2) + b$ и $y(x_1) = a \cdot f(x_1) + b$, тогда из предыдущего неравенства следует:

$$y(x_2) > y(x_1).$$

Таким образом, мы доказали, что для любых $x_1, x_2 \in X$, если $x_2 > x_1$, то $y(x_2) > y(x_1)$, что и требовалось доказать.

б) Если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a < 0$, тогда функция $y = a \cdot f(x) + b$ возрастает на $X$:

Пусть функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$, то есть для любых $x_1, x_2 \in X$, если $x_2 > x_1$, то выполняется неравенство:

$$f(x_2) < f(x_1).$$

Теперь рассматриваем функцию $y = a \cdot f(x) + b$, где $a < 0$, и нужно доказать, что эта функция возрастает на промежутке $X$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из промежутка $X$, причем $x_2 > x_1$. Поскольку функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$, то по условию задачи выполняется:

$$f(x_2) < f(x_1).$$

Умножим обе части неравенства $f(x_2) < f(x_1)$ на отрицательное число $a$. При умножении на отрицательное число знак неравенства изменится:

$$a \cdot f(x_2) > a \cdot f(x_1).$$

Теперь прибавим к обеим частям неравенства константу $b$. Поскольку прибавление постоянной величины $b$ не влияет на знак неравенства, то получим:

$$a \cdot f(x_2) + b > a \cdot f(x_1) + b.$$

Обозначим $y(x_2) = a \cdot f(x_2) + b$ и $y(x_1) = a \cdot f(x_1) + b$, тогда из предыдущего неравенства следует:

$$y(x_2) > y(x_1).$$

Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in X$, если $x_2 > x_1$, то $y(x_2) > y(x_1)$, что и требовалось доказать.

в) Если функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$ и $a > 0$, тогда функция $y = a \cdot f(x) + b$ также убывает на $X$:

Пусть функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$, то есть для любых $x_1, x_2 \in X$, если $x_2 > x_1$, то выполняется:

$$f(x_2) < f(x_1).$$

Теперь рассматриваем функцию $y = a \cdot f(x) + b$, где $a > 0$, и нужно доказать, что эта функция также убывает на промежутке $X$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из промежутка $X$, причем $x_2 > x_1$. Поскольку функция $y = f(x)$ убывает на промежутке $X$, то по условию задачи выполняется:

$$f(x_2) < f(x_1).$$

Умножим обе части неравенства $f(x_2) < f(x_1)$ на положительное число $a$. Поскольку $a > 0$, то знак неравенства не изменится:

$$a \cdot f(x_2) < a \cdot f(x_1).$$

Теперь прибавим к обеим частям неравенства константу $b$. Поскольку добавление постоянной величины $b$ к обеим частям неравенства не влияет на его знак, то получим:

$$a \cdot f(x_2) + b < a \cdot f(x_1) + b.$$

Обозначим $y(x_2) = a \cdot f(x_2) + b$ и $y(x_1) = a \cdot f(x_1) + b$, тогда из предыдущего неравенства следует:

$$y(x_2) < y(x_1).$$

Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in X$, если $x_2 > x_1$, то $y(x_2) < y(x_1)$, что и требовалось доказать.

г) Если функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$ и $a < 0$, тогда функция $y = a \cdot f(x) + b$ убывает на $X$:

Пусть функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$, то есть для любых $x_1, x_2 \in X$, если $x_2 > x_1$, то выполняется:

$$f(x_2) > f(x_1).$$

Теперь рассматриваем функцию $y = a \cdot f(x) + b$, где $a < 0$, и нужно доказать, что эта функция убывает на промежутке $X$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — два произвольных значения из промежутка $X$, причем $x_2 > x_1$. Поскольку функция $y = f(x)$ возрастает на промежутке $X$, то по условию задачи выполняется:

$$f(x_2) > f(x_1).$$

Умножим обе части неравенства $f(x_2) > f(x_1)$ на отрицательное число $a$. При умножении на отрицательное число знак неравенства изменится:

$$a \cdot f(x_2) < a \cdot f(x_1).$$

Теперь прибавим к обеим частям неравенства константу $b$. Поскольку прибавление постоянной величины $b$ не влияет на знак неравенства, то получим:

$$a \cdot f(x_2) + b < a \cdot f(x_1) + b.$$

Обозначим $y(x_2) = a \cdot f(x_2) + b$ и $y(x_1) = a \cdot f(x_1) + b$, тогда из предыдущего неравенства следует:

$$y(x_2) < y(x_1).$$

Таким образом, для любых $x_1, x_2 \in X$, если $x_2 > x_1$, то $y(x_2) < y(x_1)$, что и требовалось доказать.