ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.21 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Убедитесь, что функция, график которой изображен на заданном рисунке, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; задайте эту функцию аналитически:

а) Рисунок 22

б) Рисунок 23

Множество значений данных функций ограничено интервалом $(a; b)$, значит для любых чисел $m, M \in (a; b)$ можно подобрать число $x \in D(f)$, при котором будут выполняться неравенства:

$$a < f(x) < m;$$ $$M < f(x) < b;$$

Следовательно эти функции не имеют наибольшего и наименьшего значений;

а) Рисунок 22:

Уравнение прямой в общем виде:

$$y = kx + b;$$

На интервале $[-3; 0)$ прямая проходит через точки $(-3; 1)$ и $(0; -3)$:

$$\begin{cases} 1 = k \cdot (-3) + b \\ -3 = k \cdot 0 + b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k = \frac{b — 1}{3} \\ b = -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} k = -\frac{4}{3} \\ b = -3 \end{cases}$$ $$y = -\frac{4}{3}x — 3;$$

На интервале $(0; 3]$ прямая проходит через точки $(0; 2)$ и $(3; -2)$:

$$\begin{cases} 2 = k \cdot 0 + b \\ -2 = k \cdot 3 + b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 2 \\ k = \frac{-b — 2}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} b = 2 \\ k = -\frac{4}{3} \end{cases}$$ $$y = -\frac{4}{3}x + 2;$$

Ответ:

$$f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{3}x — 3, \text{если } -3 \leq x < 0 \\ -\frac{4}{3}x + 2, \text{если } 0 < x \leq 3 \end{cases}.$$

б) Рисунок 23:

Уравнение параболы в общем виде:

$$y = a(x + b)^2 + c;$$

Вершина параболы находится в точке $(1; -2)$, значит:

$$b = -1 \quad \text{и} \quad c = -2;$$ $$y = a(x — 1)^2 — 2;$$

Парабола проходит через точку $(4; 3)$, значит:

$$3 = a(4 — 1)^2 — 2;$$ $$5 = a \cdot 3^2;$$ $$5 = 9a;$$ $$a = \frac{5}{9};$$ $$y = \frac{5}{9}(x — 1)^2 — 2;$$

Ответ:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{5}{9}(x — 1)^2 — 2, \text{если } -2 < x < 1 \\ \frac{5}{9}(x — 1)^2 — 2, \text{если } 1 < x < 4 \end{cases}.$$

Множество значений данных функций ограничено интервалом $(a; b)$, значит для любых чисел $m, M \in (a; b)$ можно подобрать число $x \in D(f)$, при котором будут выполняться неравенства:

$$a < f(x) < m;$$ $$M < f(x) < b;$$

Следовательно, эти функции не имеют наибольшего и наименьшего значений.

Решение:

Для начала разберём утверждение и посмотрим, как оно применяется к двум функциям, приведённым на рисунках.

1. Разбор теории: Множество значений функции ограничено интервалом

Рассмотрим функцию $f(x)$, которая принимает значения на интервале $(a; b)$. Это значит, что для любых значений $m$ и $M$, таких что $m, M \in (a; b)$, можно найти точку $x$, принадлежащую области определения функции $D(f)$, для которой выполняются следующие неравенства:

$$a < f(x) < m;$$ $$M < f(x) < b;$$

Объяснение неравенства:

1. Первое неравенство $a < f(x) < m$: это означает, что функция $f(x)$ может быть больше, чем нижняя граница $a$, но меньше, чем некоторое значение $m$, которое выбрано внутри интервала $(a; b)$.
2. Второе неравенство $M < f(x) < b$: это означает, что функция $f(x)$ может быть меньше, чем верхняя граница $b$, но больше, чем некоторое значение $M$, выбранное внутри интервала $(a; b)$.

Таким образом, мы можем утверждать, что функция не имеет наибольшего и наименьшего значений, поскольку для каждого числа из интервала $(a; b)$ существует значение функции, которое может быть как меньше, так и больше какого-либо выбранного числа на этом интервале.

2. Применение к графикам (рисунки 22 и 23)

а) Рисунок 22 

Уравнение прямой в общем виде:

$$y = kx + b;$$

Где $k$ — угловой коэффициент прямой, $b$ — свободный член (сдвиг по оси $y$).

Для интервала $[-3; 0)$ прямая проходит через две точки: $(-3; 1)$ и $(0; -3)$.

Подставим координаты точек в уравнение прямой и найдём значения $k$ и $b$.

Для точки $(-3; 1)$:

$$1 = k \cdot (-3) + b \quad \text{или} \quad -3k + b = 1$$

Для точки $(0; -3)$:

$$-3 = k \cdot 0 + b \quad \text{или} \quad b = -3$$

Подставим $b = -3$ в первое уравнение:

$$-3k — 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad -3k = 4 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{4}{3}$$

Таким образом, уравнение прямой на интервале $[-3; 0)$:

$$y = -\frac{4}{3}x — 3$$

Для интервала $(0; 3]$ прямая проходит через точки $(0; 2)$ и $(3; -2)$.

Для точки $(0; 2)$:

$$2 = k \cdot 0 + b \quad \Rightarrow \quad b = 2$$

Для точки $(3; -2)$:

$$-2 = k \cdot 3 + 2 \quad \Rightarrow \quad 3k = -4 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{4}{3}$$

Таким образом, уравнение прямой на интервале $(0; 3]$:

$$y = -\frac{4}{3}x + 2$$

Ответ для функции:

$$f(x) = \begin{cases} -\frac{4}{3}x — 3, \quad \text{если } -3 \leq x < 0 \\ -\frac{4}{3}x + 2, \quad \text{если } 0 < x \leq 3 \end{cases}.$$

б) Рисунок 23 

Уравнение параболы в общем виде:

$$y = a(x + b)^2 + c;$$

Вершина параболы находится в точке $(1; -2)$, что даёт:

$$b = -1 \quad \text{и} \quad c = -2$$

Таким образом, уравнение параболы имеет вид:

$$y = a(x — 1)^2 — 2$$

Парабола проходит через точку $(4; 3)$. Подставим эту точку в уравнение и найдём $a$:

$$3 = a(4 — 1)^2 — 2$$ $$3 = a \cdot 3^2 — 2$$ $$3 + 2 = 9a \quad \Rightarrow \quad 5 = 9a \quad \Rightarrow \quad a = \frac{5}{9}$$

Таким образом, уравнение параболы:

$$y = \frac{5}{9}(x — 1)^2 — 2$$

Ответ для функции:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{5}{9}(x — 1)^2 — 2, \quad \text{если } -2 < x < 1 \\ \frac{5}{9}(x — 1)^2 — 2, \quad \text{если } 1 < x < 4 \end{cases}.$$