ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите: если функция $y = f(x)$ имеет наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[a, b]$, а отрезок $[a_1, b_1]$ является частью отрезка $[a, b]$, то:

а) $y_{\text{наиб}}$ на $[a, b]$ не меньше $y_{\text{наиб}}$ на $[a_1, b_1]$;

б) $y_{\text{наим}}$ на $[a, b]$ не больше $y_{\text{наим}}$ на $[a_1, b_1]$.

Функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[a; b]$, имеет на нем наибольшее и наименьшее значения, а отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$;

а) Доказать, что $y_{\text{наиб}}$ на $[a; b]$ не меньше $y_{\text{наиб}}$ на $[a_1; b_1]$;

Зададим значения:

• $y_{\text{наиб}} = M$ на отрезке $[a; b]$;
• $y_{\text{наиб}} = M_1$ на отрезке $[a_1; b_1]$;

Тогда по определению:

• Для любого $x \in [a; b]$ верно $f(x) \leq M$;
• Существует $x_0 \in [a_1; b_1]$, для которого верно $f(x_0) = M_1$;

Следовательно:
$x_0 \in [a_1; b_1] \subseteq [a; b]$;
$f(x_0) \leq M$;
$M_1 \leq M$;

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что $y_{\text{наим}}$ на $[a; b]$ не больше $y_{\text{наим}}$ на $[a_1; b_1]$;

Зададим значения:

• $y_{\text{наим}} = m$ на отрезке $[a; b]$;
• $y_{\text{наим}} = m_1$ на отрезке $[a_1; b_1]$;

Тогда по определению:

• Для любого $x \in [a; b]$ верно $f(x) \geq m$;
• Существует $x_0 \in [a_1; b_1]$, для которого верно $f(x_0) = m_1$;

Следовательно:
$x_0 \in [a_1; b_1] \subseteq [a; b]$;
$f(x_0) \geq m$;
$m_1 \geq m$;

Что и требовалось доказать.

Функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[a; b]$, имеет на нем наибольшее и наименьшее значения, а отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$.

а) Доказать, что $y_{\text{наиб}}$ на $[a; b]$ не меньше $y_{\text{наиб}}$ на $[a_1; b_1]$.

Шаг 1: Задание значений

Мы имеем наибольшее значение функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ и на отрезке $[a_1; b_1]$:

• Пусть на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение функции равно $y_{\text{наиб}} = M$. То есть, для всех $x \in [a; b]$ выполнено условие:

  $$f(x) \leq M$$

  где $M$ — наибольшее значение на отрезке $[a; b]$.

• Пусть на отрезке $[a_1; b_1]$ наибольшее значение функции равно $y_{\text{наиб}} = M_1$. То есть, для всех $x \in [a_1; b_1]$ выполнено условие:

  $$f(x) \leq M_1$$

  где $M_1$ — наибольшее значение на отрезке $[a_1; b_1]$.

Шаг 2: Использование определения наибольшего значения

По определению наибольшего значения функции на отрезке:

• Для любого $x \in [a; b]$ выполняется неравенство:

  $$f(x) \leq M$$

• Существует такая точка $x_0 \in [a_1; b_1]$, для которой функция достигает значения $M_1$. То есть, по определению:

  $$f(x_0) = M_1$$

  где $x_0 \in [a_1; b_1]$.

Шаг 3: Обоснование того, что $M_1 \leq M$

Теперь, так как отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$, то $x_0 \in [a_1; b_1] \subseteq [a; b]$. То есть, точка $x_0$ находится в пределах основного отрезка $[a; b]$.

• Поскольку на отрезке $[a; b]$ наибольшее значение функции равно $M$, то для точки $x_0$ выполняется:

  $$f(x_0) \leq M$$

• Однако мы знаем, что для точки $x_0 \in [a_1; b_1]$ $f(x_0) = M_1$. Таким образом, имеем:

  $$M_1 = f(x_0) \leq M$$

Следовательно, наибольшее значение на отрезке $[a_1; b_1]$ не может быть больше наибольшего значения на отрезке $[a; b]$. То есть:

$$M_1 \leq M$$

Заключение для части (а):
Мы доказали, что наибольшее значение на отрезке $[a_1; b_1]$ не больше наибольшего значения на отрезке $[a; b]$. Это и требовалось доказать.

б) Доказать, что $y_{\text{наим}}$ на $[a; b]$ не больше $y_{\text{наим}}$ на $[a_1; b_1]$.

Шаг 1: Задание значений

Мы имеем наименьшее значение функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$ и на отрезке $[a_1; b_1]$:

• Пусть на отрезке $[a; b]$ наименьшее значение функции равно $y_{\text{наим}} = m$. То есть, для всех $x \in [a; b]$ выполнено условие:

  $$f(x) \geq m$$

  где $m$ — наименьшее значение на отрезке $[a; b]$.

• Пусть на отрезке $[a_1; b_1]$ наименьшее значение функции равно $y_{\text{наим}} = m_1$. То есть, для всех $x \in [a_1; b_1]$ выполнено условие:

  $$f(x) \geq m_1$$

  где $m_1$ — наименьшее значение на отрезке $[a_1; b_1]$.

Шаг 2: Использование определения наименьшего значения

По определению наименьшего значения функции на отрезке:

• Для любого $x \in [a; b]$ выполняется неравенство:

  $$f(x) \geq m$$

• Существует такая точка $x_0 \in [a_1; b_1]$, для которой функция достигает значения $m_1$. То есть, по определению:

  $$f(x_0) = m_1$$

  где $x_0 \in [a_1; b_1]$.

Шаг 3: Обоснование того, что $m_1 \geq m$

Теперь, так как отрезок $[a_1; b_1]$ является частью отрезка $[a; b]$, то $x_0 \in [a_1; b_1] \subseteq [a; b]$. То есть, точка $x_0$ находится в пределах основного отрезка $[a; b]$.

• Поскольку на отрезке $[a; b]$ наименьшее значение функции равно $m$, то для точки $x_0$ выполняется:

  $$f(x_0) \geq m$$

• Однако мы знаем, что для точки $x_0 \in [a_1; b_1]$ $f(x_0) = m_1$. Таким образом, имеем:

  $$m_1 = f(x_0) \geq m$$

Следовательно, наименьшее значение на отрезке $[a_1; b_1]$ не может быть меньше наименьшего значения на отрезке $[a; b]$. То есть:

$$m_1 \geq m$$

Заключение для части (б):
Мы доказали, что наименьшее значение на отрезке $[a_1; b_1]$ не меньше наименьшего значения на отрезке $[a; b]$. Это и требовалось доказать.