ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите: если функция $y = f(x)$ имеет наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[a, b]$, причем $y_{\text{наиб}} = y_{\text{наим}}$, то функция является постоянной на отрезке $[a, b]$.

Доказать, что если функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[a; b]$ и имеет на нем наибольшее и наименьшее значения, причем $y_{\text{наиб}} = y_{\text{наим}}$, то функция является постоянной на отрезке $[a; b]$;

Пусть $y_{\text{наиб}} = y_{\text{наим}} = m$;

По определению наибольшего числа для любого $x \in [a; b]$ верно неравенство:

$$f(x) \leq m;$$

По определению наименьшего числа для любого $x \in [a; b]$ верно неравенство:

$$f(x) \geq m;$$

Получилась система неравенств:

$$\begin{cases} f(x) \leq m \\ f(x) \geq m \end{cases} \Rightarrow \quad f(x) = m;$$

Таким образом, значение функции постоянно, что и требовалось доказать.

Нам необходимо доказать, что если функция $y = f(x)$ определена на отрезке $[a; b]$, и она достигает на этом отрезке как наибольшее, так и наименьшее значение, причем $y_{\text{наиб}} = y_{\text{наим}}$, то эта функция является постоянной на данном отрезке. Для этого разберем поэтапно.

Шаг 1: Установим гипотезу

Пусть $y_{\text{наиб}} = y_{\text{наим}} = m$, где $m$ — некоторое число. Это означает, что функция $f(x)$ принимает на отрезке $[a; b]$ и наибольшее, и наименьшее значение, и оба эти значения равны $m$. Формально это можно записать так:

$$f(x) \leq m \quad \text{для всех} \quad x \in [a; b] \quad \text{(наибольшее значение функции)}.$$ $$f(x) \geq m \quad \text{для всех} \quad x \in [a; b] \quad \text{(наименьшее значение функции)}.$$

Шаг 2: Применим определение наибольшего значения

По определению наибольшего значения функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$, для каждого значения ( x \in [a; b] \ справедливо неравенство:

$$f(x) \leq y_{\text{наиб}} = m.$$

Это означает, что значение функции $f(x)$ не может превышать $m$ для любого $x \in [a; b]$. Таким образом, для всех $x$ на отрезке $[a; b]$ выполняется неравенство:

$$f(x) \leq m.$$

Шаг 3: Применим определение наименьшего значения

По определению наименьшего значения функции $f(x)$ на отрезке $[a; b]$, для каждого значения $x \in [a; b]$ выполняется неравенство:

$$f(x) \geq y_{\text{наим}} = m.$$

Это означает, что значение функции $f(x)$ не может быть меньше $m$ для любого $x \in [a; b]$. Таким образом, для всех $x$ на отрезке $[a; b]$ выполняется неравенство:

$$f(x) \geq m.$$

Шаг 4: Получим систему неравенств

Из предыдущих шагов мы получили два неравенства:

$$f(x) \leq m \quad \text{и} \quad f(x) \geq m \quad \text{для всех} \quad x \in [a; b].$$

Эти два неравенства можно объединить в систему:

$$\begin{cases} f(x) \leq m, \\ f(x) \geq m. \end{cases}$$

Систему этих неравенств можно переписать как:

$$f(x) = m \quad \text{для всех} \quad x \in [a; b].$$

Таким образом, на каждом значении $x \in [a; b]$ функция $f(x)$ принимает одно и то же значение $m$.

Шаг 5: Заключение

Мы доказали, что если функция $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ имеет наибольшее и наименьшее значения, и эти значения равны $m$, то функция $f(x)$ является постоянной на отрезке $[a; b]$, то есть $f(x) = m$ для всех $x \in [a; b]$.