ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что если $y = x + \frac{1}{x}$, то:

а) При $x < 0$: $y_{\text{наиб}} = -2$;

б) При $x > 0$: $y_{\text{наим}} = 2$

Доказать, что если $y = x + \frac{1}{x}$, тогда:

а) При $x < 0$: $y_{\text{наиб}} = -2$;

Преобразуем выражение:
$y = x + \frac{1}{x} \quad | \cdot x;$
$yx = x^2 + 1;$
$x^2 — yx + 1 = 0;$
$D = y^2 — 4;$

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:
$y^2 — 4 \geq 0;$
$(y + 2)(y — 2) \geq 0;$
$y \leq -2 \text{ и } y \geq 2;$

При $x < 0$ имеем $y < 0$, значит:
$y_{\text{наиб}} = -2;$

Что и требовалось доказать.

б) При $x > 0$: $y_{\text{наим}} = 2$;

Преобразуем выражение:
$y = x + \frac{1}{x} \quad | \cdot x;$
$yx = x^2 + 1;$
$x^2 — yx + 1 = 0;$
$D = y^2 — 4;$

Уравнение имеет корни при $D \geq 0$:
$y^2 — 4 \geq 0;$
$(y + 2)(y — 2) \geq 0;$
$y \leq -2 \text{ и } y \geq 2;$

При $x > 0$ имеем $y > 0$, значит:
$y_{\text{наим}} = 2;$

Что и требовалось доказать.

Доказать, что если $y = x + \frac{1}{x}$, то:

а) При $x < 0$: $y_{\text{наиб}} = -2$;

б) При $x > 0$: $y_{\text{наим}} = 2$.

Решение:

1. Преобразование исходного выражения для $y$:

Дано:

$$y = x + \frac{1}{x}$$

Мы будем анализировать выражение $y = x + \frac{1}{x}$ для двух случаев: когда $x < 0$ и когда $x > 0$.

Для дальнейшей работы с этим выражением полезно умножить его на $x$, чтобы избавиться от дроби. Сделаем это:

$$y = x + \frac{1}{x} \quad \text{умножаем обе части на} \, x:$$ $$yx = x^2 + 1$$

Перепишем это уравнение в стандартной форме квадратного уравнения:

$$x^2 — yx + 1 = 0$$

Это уравнение имеет вид стандартного квадратного уравнения относительно $x$, и мы можем вычислить его дискриминант $D$ для того, чтобы понять, при каких значениях $y$ у уравнения будут реальные корни.

2. Находим дискриминант:

Из уравнения $x^2 — yx + 1 = 0$ видно, что коэффициенты при $x^2$, $x$ и свободный член следующие: $A = 1$, $B = -y$, $C = 1$. Используем формулу для дискриминанта квадратного уравнения $Ax^2 + Bx + C = 0$:

$$D = B^2 — 4AC$$

Подставим значения:

$$D = (-y)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = y^2 — 4$$

Дискриминант $D$ должен быть неотрицательным, чтобы у уравнения были реальные корни. То есть:

$$D \geq 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 — 4 \geq 0$$

Решим неравенство:

$$y^2 \geq 4$$

Это неравенство можно разложить на два случая:

$$y \leq -2 \quad \text{или} \quad y \geq 2$$

Таким образом, мы получаем, что $y$ может быть либо меньше или равно $-2$, либо больше или равно $2$. Это означает, что значения $y$, для которых у уравнения есть реальные корни, лежат за пределами промежутка $(-2, 2)$.

3. Рассмотрим два случая:

а) При $x < 0$:

Когда $x < 0$, выражение $y = x + \frac{1}{x}$ также будет отрицательным. Это значит, что мы должны рассматривать только те значения $y$, которые меньше нуля. Из условия $y \leq -2$ и $y \geq 2$ выбираем подходящий вариант, который подходит для $y < 0$. Это условие даёт нам, что:

$$y \leq -2$$

Таким образом, при $x < 0$, наибольшее значение $y$ достигает $-2$, и это будет максимальное значение, которое $y$ может принимать при $x < 0$.

Значит:

$$y_{\text{наиб}} = -2$$

Что мы доказали:

Для $x < 0$, $y_{\text{наиб}} = -2$.

б) При $x > 0$:

Когда $x > 0$, выражение $y = x + \frac{1}{x}$ будет положительным, то есть $y > 0$. В этом случае, из того же неравенства $y^2 — 4 \geq 0$, мы получаем:

$$y \geq 2$$

Значит, при $x > 0$, минимальное значение $y$ достигает $2$, и это будет минимальное значение, которое $y$ может принимать при $x > 0$.

Значит:

$$y_{\text{наим}} = 2$$

Что мы доказали:

Для $x > 0$, $y_{\text{наим}} = 2$.

Таким образом, мы доказали следующее:

а) При $x < 0$, $y_{\text{наиб}} = -2$;
б) При $x > 0$, $y_{\text{наим}} = 2$.