ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.26 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции $y=3x^2-24x-\mathrm{100:}$

$y = 3x^2 — 24x — 100$а) На отрезке $[-1; 5]$

б) На луче $(-∞; 0]$

в) На луче $[0; +∞)$

г) На R

Дана функция: $y = 3x^2 — 24x — 100$;

Абсцисса вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-24)}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4;$

$a = 3 > 0$ — ветви направлены вверх;

а) На отрезке $[-1; 5]$:
$y(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — 24 \cdot (-1) — 100 = 3 + 24 — 100 = -73;$
$y(4) = 3 \cdot 4^2 — 24 \cdot 4 — 100 = 48 — 96 — 100 = -148;$
$y(5) = 3 \cdot 5^2 — 24 \cdot 5 — 100 = 75 — 120 — 100 = -145;$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = -73$; $y_{\text{наим}} = -148$.

б) На луче $(-∞; 0]$:
$y(0) = 3 \cdot 0^2 — 24 \cdot 0 — 100 = -100;$
Ответ: $y_{\text{наиб}}$ — нет; $y_{\text{наим}} = -100$.

в) На луче $[0; +∞)$:
$y(0) = 3 \cdot 0^2 — 24 \cdot 0 — 100 = -100;$
$y(4) = 3 \cdot 4^2 — 24 \cdot 4 — 100 = 48 — 96 — 100 = -148;$
Ответ: $y_{\text{наиб}}$ — нет; $y_{\text{наим}} = -148$.

г) На множестве $R$:
$y(4) = 3 \cdot 4^2 — 24 \cdot 4 — 100 = 48 — 96 — 100 = -148;$
Ответ: $y_{\text{наиб}}$ — нет; $y_{\text{наим}} = -148$.

Функция $y = 3x^2 — 24x — 100$.

Это квадратичная функция, и задача заключается в том, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на различных интервалах и множестве всех действительных чисел.

Шаг 1. Определение абсциссы вершины параболы

Парабола, заданная квадратичной функцией $y = ax^2 + bx + c$, имеет вершину в точке с абсциссой $x_0 = \frac{-b}{2a}$. Для данной функции:

• $a = 3$ (коэффициент при $x^2$),
• $b = -24$ (коэффициент при $x$),
• $c = -100$ (свободный коэффициент).

Вычислим абсциссу вершины:

$$x_0 = \frac{-(-24)}{2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4.$$

Таким образом, абсцисса вершины параболы $x_0 = 4$.

Шаг 2. Определение направления ветвей параболы

Парабола открывается вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента $a$:

• если $a > 0$, парабола открывается вверх,
• если $a < 0$, парабола открывается вниз.

В нашем случае $a = 3$, что больше нуля, значит, парабола открывается вверх, и следовательно, вершина параболы является точкой минимума.

Шаг 3. Рассмотрим наибольшее и наименьшее значение функции на различных интервалах

а) На отрезке $[-1; 5]$

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке, нужно вычислить значения функции в концах отрезка и в вершине параболы (если она попадает на этот отрезок).

Вычислим значение функции в точке $x = -1$:

$$y(-1) = 3 \cdot (-1)^2 — 24 \cdot (-1) — 100 = 3 \cdot 1 + 24 — 100 = 3 + 24 — 100 = -73.$$

Вычислим значение функции в вершине $x = 4$:

$$y(4) = 3 \cdot 4^2 — 24 \cdot 4 — 100 = 3 \cdot 16 — 96 — 100 = 48 — 96 — 100 = -148.$$

Вычислим значение функции в точке $x = 5$:

$$y(5) = 3 \cdot 5^2 — 24 \cdot 5 — 100 = 3 \cdot 25 — 120 — 100 = 75 — 120 — 100 = -145.$$

Теперь, сравнив значения функции в точках $x = -1$, $x = 4$ и $x = 5$, получаем:

• $y(-1) = -73$,
• $y(4) = -148$,
• $y(5) = -145$.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 5]$ равно $-73$ (в точке $x = -1$), а наименьшее значение функции равно $-148$ (в точке вершины $x = 4$).

Ответ: $y_{\text{наиб}} = -73$; $y_{\text{наим}} = -148$.

б) На луче $(-∞; 0]$

На этом интервале мы также должны вычислить значение функции в точке, принадлежащей интервалу, и оценить, что происходит с функцией на границе этого интервала.

Вычислим значение функции в точке $x = 0$:

$$y(0) = 3 \cdot 0^2 — 24 \cdot 0 — 100 = -100.$$

Поскольку парабола открывается вверх, а вершина параболы находится в точке $x = 4$, то на интервале $(-\infty; 0]$ функция не достигает наибольшего значения. То есть, на этом интервале не существует наибольшего значения функции, поскольку функция продолжает уменьшаться по мере удаления от вершины. Однако наименьшее значение функции на этом интервале — это значение в точке $x = 0$, которое равно $-100$.

Ответ: $y_{\text{наиб}}$ — нет; $y_{\text{наим}} = -100$.

в) На луче $[0; +∞)$

Для интервала $[0; +∞)$ аналогично проверим значение функции в точке $x = 0$, а также в вершине параболы, так как вершина находится на правой части этой оси.

Вычислим значение функции в точке $x = 0$:

$$y(0) = 3 \cdot 0^2 — 24 \cdot 0 — 100 = -100.$$

Вычислим значение функции в точке $x = 4$:

$$y(4) = 3 \cdot 4^2 — 24 \cdot 4 — 100 = 48 — 96 — 100 = -148.$$

Так как парабола открывается вверх и вершина функции находится в точке $x = 4$, на интервале $[0; +∞)$ функция не имеет наибольшего значения, так как она будет продолжать увеличиваться с ростом $x$. Однако наименьшее значение функции на этом интервале также будет достигаться в вершине, то есть в точке $x = 4$, и оно равно $-148$.

Ответ: $y_{\text{наиб}}$ — нет; $y_{\text{наим}} = -148$.

г) На множестве $R$ (все действительные числа)

Для всего множества действительных чисел мы знаем, что вершина параболы $x = 4$ является точкой минимума, и с ростом $x$ и $-x$ функция будет расти. Поэтому на множестве всех действительных чисел функция не имеет наибольшего значения (оно будет стремиться к бесконечности), а наименьшее значение будет равно значению функции в вершине.

Вычислим значение функции в вершине $x = 4$:

$$y(4) = 3 \cdot 4^2 — 24 \cdot 4 — 100 = 48 — 96 — 100 = -148.$$

Ответ: $y_{\text{наиб}}$ — нет; $y_{\text{наим}} = -148$.

Итог:

• на отрезке $[-1; 5]$: наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = -73$, наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -148$,
• на луче $(-∞; 0]$: наибольшее значение — нет, наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -100$,
• на луче $[0; +∞)$: наибольшее значение — нет, наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -148$,
• на множестве $R$: наибольшее значение — нет, наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -148$.