ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и/или наименьшее значение функции у = -2x² — 12x + 3:

а) на отрезке [-1; 3];

б) на луче ($-\mathrm{\infty }$; -4];

в) на луче [-4; $+\mathrm{\infty }$);

г) на R.

Дана функция: $y = -2x^2 — 12x + 3$;

Абсцисса вершины параболы:
$x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-12)}{2 \cdot (-2)} = \frac{12}{-4} = -3;$

$a = -2 < 0$ — ветви направлены вниз;

а) На отрезке $[-1; 3]$:
$y(-1) = -2 \cdot (-1)^2 — 12 \cdot (-1) + 3 = -2 + 12 + 3 = 13;$
$y(3) = -2 \cdot 3^2 — 12 \cdot 3 + 3 = -18 — 36 + 3 = -51;$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = 13$; $y_{\text{наим}} = -51$.

б) На луче $(-∞; -4]$:
$y(-4) = -2 \cdot (-4)^2 — 12 \cdot (-4) + 3 = -32 + 48 + 3 = 19;$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = 19$; $y_{\text{наим}}$ — нет.

в) На луче $[-4; +∞)$:
$y(-4) = -2 \cdot (-4)^2 — 12 \cdot (-4) + 3 = -32 + 48 + 3 = 19;$
$y(-3) = -2 \cdot (-3)^2 — 12 \cdot (-3) + 3 = -18 + 36 + 3 = 21;$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = 21$; $y_{\text{наим}}$ — нет.

г) На множестве $R$:
$y(-3) = -2 \cdot (-3)^2 — 12 \cdot (-3) + 3 = -18 + 36 + 3 = 21;$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = 21$; $y_{\text{наим}}$ — нет.

Функция $y = -2x^2 — 12x + 3$.

Это квадратичная функция, и наша задача — найти наибольшее и наименьшее значения функции на различных интервалах и на множестве всех действительных чисел.

Шаг 1. Определение абсциссы вершины параболы

Для параболы, заданной функцией $y = ax^2 + bx + c$, абсцисса вершины параболы определяется по формуле:

$$x_0 = \frac{-b}{2a}.$$

В нашей функции:

• $a = -2$ (коэффициент при $x^2$),
• $b = -12$ (коэффициент при $x$),
• $c = 3$ (свободный коэффициент).

Подставляем значения в формулу:

$$x_0 = \frac{-(-12)}{2 \cdot (-2)} = \frac{12}{-4} = -3.$$

Таким образом, абсцисса вершины параболы $x_0 = -3$.

Шаг 2. Определение направления ветвей параболы

Парабола открывается вверх или вниз в зависимости от знака коэффициента $a$:

• если $a > 0$, парабола открывается вверх,
• если $a < 0$, парабола открывается вниз.

В нашем случае $a = -2$, что меньше нуля, значит, парабола открывается вниз. Это означает, что точка вершины является точкой максимума функции.

Шаг 3. Рассмотрим наибольшее и наименьшее значение функции на различных интервалах

а) На отрезке $[-1; 3]$

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке, нужно вычислить значения функции в концах отрезка и в вершине параболы (если вершина попадает на этот отрезок).

Вычислим значение функции в точке $x = -1$:

$$y(-1) = -2 \cdot (-1)^2 — 12 \cdot (-1) + 3 = -2 \cdot 1 + 12 + 3 = -2 + 12 + 3 = 13.$$

Вычислим значение функции в точке $x = 3$:

$$y(3) = -2 \cdot 3^2 — 12 \cdot 3 + 3 = -2 \cdot 9 — 36 + 3 = -18 — 36 + 3 = -51.$$

Вычислим значение функции в вершине $x = -3$:

$$y(-3) = -2 \cdot (-3)^2 — 12 \cdot (-3) + 3 = -2 \cdot 9 + 36 + 3 = -18 + 36 + 3 = 21.$$

Теперь, сравнив значения функции в точках $x = -1$, $x = -3$ и $x = 3$, получаем:

• $y(-1) = 13$,
• $y(-3) = 21$,
• $y(3) = -51$.

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[-1; 3]$ равно $21$ (в точке $x = -3$), а наименьшее значение функции равно $-51$ (в точке $x = 3$).

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 21$; $y_{\text{наим}} = -51$.

б) На луче $(-∞; -4]$

На этом интервале вычислим значение функции в точке $x = -4$, так как это крайняя точка интервала, и будем проверять, что происходит с функцией по мере уменьшения $x$.

Вычислим значение функции в точке $x = -4$:

$$y(-4) = -2 \cdot (-4)^2 — 12 \cdot (-4) + 3 = -2 \cdot 16 + 48 + 3 = -32 + 48 + 3 = 19.$$

Поскольку парабола открывается вниз, а вершина функции находится в точке $x = -3$, которая лежит правее, чем точка $x = -4$, функция будет убывать на интервале $(-∞; -4]$. Поэтому на этом интервале не существует наибольшего значения функции, так как она будет продолжать уменьшаться при уходе в левую сторону. Однако наименьшее значение функции на интервале отсутствует, поскольку функция продолжает уменьшаться с увеличением отрицательности $x$.

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 19$; $y_{\text{наим}}$ — нет.

в) На луче $[-4; +∞)$

На этом интервале аналогично проверим значение функции в точке $x = -4$ и вычислим значение функции в точке вершины $x = -3$, так как вершина находится на правой части этого интервала.

Вычислим значение функции в точке $x = -4$:

$$y(-4) = -2 \cdot (-4)^2 — 12 \cdot (-4) + 3 = -32 + 48 + 3 = 19.$$

Вычислим значение функции в точке $x = -3$:

$$y(-3) = -2 \cdot (-3)^2 — 12 \cdot (-3) + 3 = -2 \cdot 9 + 36 + 3 = -18 + 36 + 3 = 21.$$

Так как парабола открывается вниз, на интервале $[-4; +∞)$ функция будет достигать наибольшего значения в вершине, то есть в точке $x = -3$, где значение функции равно $21$. Однако наибольшее значение функции на этом интервале равно $21$, а наименьшее значение не существует, так как функция будет убывать при $x > -3$.

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 21$; $y_{\text{наим}}$ — нет.

г) На множестве $R$ (все действительные числа)

Для всего множества действительных чисел функция будет иметь наибольшее значение в точке вершины $x = -3$, так как парабола открывается вниз. Функция будет стремиться к минус бесконечности при удалении от вершины.

Вычислим значение функции в вершине $x = -3$:

$$y(-3) = -2 \cdot (-3)^2 — 12 \cdot (-3) + 3 = -18 + 36 + 3 = 21.$$

Таким образом, на множестве всех действительных чисел функция не имеет наименьшего значения (оно будет стремиться к минус бесконечности), а наибольшее значение равно $21$.

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 21$; $y_{\text{наим}}$ — нет.

Итог:

• на отрезке $[-1; 3]$: наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 21$, наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -51$,
• на луче $(-∞; -4]$: наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 19$, наименьшего значения нет,
• на луче $[-4; +∞)$: наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 21$, наименьшего значения нет,
• на множестве $R$: наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 21$, наименьшего значения нет.