ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.28 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение функции:

а) $y = \frac{2}{x^2 + 1}$;

б) $y=\frac{2}{x^4+8x^2+1}$

в) $y=\frac{2}{x^2-4x+10}$

г) $y=\frac{2}{x^4-8x^2+17}$

Наибольшее значение дроби с постоянным числителем достигается при наименьшем неотрицательном значении знаменателя;

а) $y = \frac{2}{x^2 + 1}$;

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 + 1;$
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0;$
$y_{\text{наим}} = y(0) = 0^2 + 1 = 1;$

Наибольшее значение дроби:
$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{1} = 2;$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = 2$.

б) $y = \frac{2}{x^4 + 8x^2 + 1} = \frac{2}{x^4 + 8x^2 + 16 — 15} = \frac{2}{(x^2 + 4)^2 — 15};$

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 + 4;$
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0;$
$y_{\text{наим}} = y(0) = 0^2 + 4 = 4;$

Наибольшее значение дроби:
$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{4^2 — 15} = \frac{2}{16 — 15} = \frac{2}{1} = 2;$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = 2$.

в) $y = \frac{2}{x^2 — 4x + 10};$

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 — 4x + 10;$
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2;$
$y_{\text{наим}} = y(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 + 10 = 4 — 8 + 10 = 6;$

Наибольшее значение дроби:
$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = \frac{1}{3}$.

г) $y = \frac{2}{x^4 — 8x^2 + 17} = \frac{2}{x^4 — 8x^2 + 16 + 1} = \frac{2}{(x^2 — 4)^2 + 1};$

Рассмотрим функцию:
$y = x^2 — 4;$
$x^2 — 4 = 0;$
$x^2 = 4;$
$x = \pm 2;$
$y_{\text{наим}} = 0;$

Наибольшее значение дроби:
$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{0^2 + 1} = \frac{2}{1} = 2;$
Ответ: $y_{\text{наиб}} = 2$.

Наибольшее значение дроби с постоянным числителем достигается при наименьшем неотрицательном значении знаменателя.

Для каждой функции дается дробь с постоянным числителем. Задача заключается в том, чтобы найти наибольшее значение дроби, которое достигается при минимизации знаменателя.

а) $y = \frac{2}{x^2 + 1}$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 1$:

Знаменатель дроби $x^2 + 1$ — это квадратичная функция, которая всегда больше или равна 1, поскольку для любого значения $x$, выражение $x^2 \geq 0$. Минимальное значение знаменателя будет достигаться при $x = 0$, так как $x^2 + 1$ имеет минимальное значение при $x = 0$.

Вычислим это минимальное значение:

$$y_{\text{наим}} = y(0) = 0^2 + 1 = 1.$$

Таким образом, минимальное значение знаменателя равно 1, и это значение достигается при $x = 0$.

Наибольшее значение дроби:

Наибольшее значение дроби $y = \frac{2}{x^2 + 1}$ будет достигаться при минимальном значении знаменателя, которое, как мы только что установили, равно 1:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{1} = 2.$$

Ответ:

$$y_{\text{наиб}} = 2.$$

б) $y = \frac{2}{x^4 + 8x^2 + 1} = \frac{2}{x^4 + 8x^2 + 16 — 15} = \frac{2}{(x^2 + 4)^2 — 15}$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 4$:

Мы можем переписать знаменатель в виде $(x^2 + 4)^2 — 15$, и минимизация этой функции будет эквивалентна минимизации выражения $x^2 + 4$. Это квадратное выражение всегда больше или равно 4, потому что для любого значения $x$, $x^2 \geq 0$, а значит, $x^2 + 4 \geq 4$.

Минимальное значение знаменателя достигается, когда $x^2 + 4 = 4$, что происходит при $x = 0$:

$$y_{\text{наим}} = y(0) = 0^2 + 4 = 4.$$

Наибольшее значение дроби:

Наибольшее значение дроби $y = \frac{2}{(x^2 + 4)^2 — 15}$ будет достигаться при минимальном значении знаменателя, то есть при $(x^2 + 4)^2 = 16$. Тогда знаменатель будет равен:

$$(x^2 + 4)^2 — 15 = 16 — 15 = 1.$$

Соответственно:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{1} = 2.$$

Ответ:

$$y_{\text{наиб}} = 2.$$

в) $y = \frac{2}{x^2 — 4x + 10}$

Рассмотрим функцию $y = x^2 — 4x + 10$:

Эта функция является квадратной, и для нахождения её минимума нужно найти вершину параболы. Для этого используем формулу для абсциссы вершины параболы, которая для квадратичной функции $ax^2 + bx + c$ вычисляется по формуле:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}.$$

В нашем случае:

$$a = 1, \quad b = -4, \quad c = 10.$$

Подставляем значения:

$$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2.$$

Подставим $x = 2$ в функцию $y = x^2 — 4x + 10$, чтобы найти минимальное значение:

$$y_{\text{наим}} = y(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 + 10 = 4 — 8 + 10 = 6.$$

Таким образом, минимальное значение знаменателя равно 6.

Наибольшее значение дроби:

Наибольшее значение дроби $y = \frac{2}{x^2 — 4x + 10}$ будет достигаться при минимальном значении знаменателя, то есть при $x = 2$:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$$

Ответ:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{1}{3}.$$

г) $y = \frac{2}{x^4 — 8x^2 + 17} = \frac{2}{x^4 — 8x^2 + 16 + 1} = \frac{2}{(x^2 — 4)^2 + 1}$

Рассмотрим функцию $y = x^2 — 4$:

Мы видим, что знаменатель дроби можно переписать как $(x^2 — 4)^2 + 1$. Чтобы минимизировать знаменатель, нужно минимизировать выражение $(x^2 — 4)^2$, которое является квадратом. Минимальное значение $(x^2 — 4)^2$ достигается, когда $x^2 — 4 = 0$, то есть при $x^2 = 4$, что даёт $x = \pm 2$.

Подставим $x = 2$ или $x = -2$ в $y = x^2 — 4$:

$$y_{\text{наим}} = 0.$$

Наибольшее значение дроби:

Наибольшее значение дроби $y = \frac{2}{(x^2 — 4)^2 + 1}$ будет достигаться при минимальном значении знаменателя, которое равно $(x^2 — 4)^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$. Таким образом:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{1} = 2.$$

Ответ:

$$y_{\text{наиб}} = 2.$$

Итог:

• для функции $y = \frac{2}{x^2 + 1}$: $y_{\text{наиб}} = 2$,
• для функции $y = \frac{2}{x^4 + 8x^2 + 1}$: $y_{\text{наиб}} = 2$,
• для функции $y = \frac{2}{x^2 — 4x + 10}$: $y_{\text{наиб}} = \frac{1}{3}$,
• для функции $y = \frac{2}{x^4 — 8x^2 + 17}$: $y_{\text{наиб}} = 2$.