ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.29 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Используя результаты упражнения 8.25, найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y=\frac{2x}{x^2+1}$

б) $y=\frac{4x-4}{x^2-2x+17}$

в) $y=\frac{10x}{x^2+4}$

г) $y=\frac{49(x-2)}{x^2-4x+53}$

Используя результаты упражнения 8.25, найти наибольшее и наименьшее значения функции;

а) $y = \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{\frac{2x}{x}}{\frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}} = \frac{2}{x + \frac{1}{x}}$;

Рассмотрим функцию:
$y = x + \frac{1}{x};$
$y_{\text{наим}} = 2 \text{ при } x > 0;$
$y_{\text{наиб}} = -2 \text{ при } x < 0;$

Наибольшее и наименьшее значения дроби:
$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{2} = 1;$
$y_{\text{наим}} = \frac{2}{-2} = -1;$

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 1; \, y_{\text{наим}} = -1.$

б) $y = \frac{4x — 4}{x^2 — 2x + 17} = \frac{4(x — 1)}{(x — 1)^2 + 16};$
$y = \frac{4(x — 1)}{(x — 1)^2 + 16} = \frac{4(x — 1)}{4(x — 1) + \frac{16}{4(x — 1)}} = \frac{1}{t + \frac{1}{t}}, \text{ где } t = \frac{x — 1}{4};$

Рассмотрим функцию:
$y = t + \frac{1}{t};$
$y_{\text{наим}} = 2 \text{ при } t > 0;$
$y_{\text{наиб}} = -2 \text{ при } t < 0;$

Наибольшее и наименьшее значения дроби:
$y_{\text{наиб}} = \frac{1}{2} = 0.5;$
$y_{\text{наим}} = \frac{1}{-2} = -0.5;$

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 0.5; \, y_{\text{наим}} = -0.5.$

в) $y = \frac{10x}{x^2 + 4} = \frac{\frac{10x}{2x}}{\frac{x^2}{2x} + \frac{4}{2x}} = \frac{5}{t + \frac{1}{t}}, \text{ где } t = \frac{x}{2};$

Рассмотрим функцию:
$y = t + \frac{1}{t};$
$y_{\text{наим}} = 2 \text{ при } t > 0;$
$y_{\text{наиб}} = -2 \text{ при } t < 0;$

Наибольшее и наименьшее значения дроби:
$y_{\text{наиб}} = \frac{5}{2} = 2.5;$
$y_{\text{наим}} = \frac{5}{-2} = -2.5;$

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 2.5; \, y_{\text{наим}} = -2.5.$

г) $y = \frac{49(x — 2)}{x^2 — 4x + 53} = \frac{49(x — 2)}{(x — 2)^2 + 49};$
$y = \frac{49(x — 2)}{(x — 2)^2 + 49} = \frac{7(x — 2)}{t + \frac{1}{t}}, \text{ где } t = \frac{x — 2}{7};$

Рассмотрим функцию:
$y = t + \frac{1}{t};$
$y_{\text{наим}} = 2 \text{ при } t > 0;$
$y_{\text{наиб}} = -2 \text{ при } t < 0;$

Наибольшее и наименьшее значения дроби:
$y_{\text{наиб}} = \frac{7}{2} = 3.5;$
$y_{\text{наим}} = \frac{7}{-2} = -3.5;$

Ответ: $y_{\text{наиб}} = 3.5; \, y_{\text{наим}} = -3.5.$

Используя результаты упражнения 8.25, нужно найти наибольшее и наименьшее значения функции для каждой из предложенных задач.

а)

Функция:

$$y = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

Нам нужно привести её к удобной для анализа форме. Попробуем преобразовать функцию так, чтобы её проще было анализировать.

Преобразование функции:

Первоначальное уравнение:

$$y = \frac{2x}{x^2 + 1}$$

Представим её в виде:

$$y = \frac{2}{x + \frac{1}{x}}$$

Здесь мы использовали выражение $x + \frac{1}{x}$ вместо $x^2 + 1$, что даёт нам возможность анализировать эту дробь через известные функции.

Исследование функции $y = x + \frac{1}{x}$:

Рассмотрим функцию:

$$y = x + \frac{1}{x}$$

Эта функция имеет важные особенности, которые нужно разобрать:

Для $x > 0$:

• Минимальное значение функции $y = x + \frac{1}{x}$ достигается при $x = 1$, где:

$$y_{\text{наим}} = 2$$

Для $x < 0$:

• Минимальное значение для этой области будет, когда $x = -1$, то есть:

$$y_{\text{наиб}} = -2$$

Таким образом, для функции $y = x + \frac{1}{x}$ наименьшее значение будет равно 2 для положительных значений $x$, а наибольшее -2 для отрицательных.

Подставим в исходную функцию $y = \frac{2}{x + \frac{1}{x}}$:

Для $x > 0$, минимальное значение функции $y = \frac{2}{x + \frac{1}{x}}$ будет при $x = 1$, и:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{2}{2} = 1$$

Для $x < 0$, минимальное значение будет при $x = -1$, и:

$$y_{\text{наим}} = \frac{2}{-2} = -1$$

Ответ для части а:

$$y_{\text{наиб}} = 1, \quad y_{\text{наим}} = -1$$

б)

Функция:

$$y = \frac{4x — 4}{x^2 — 2x + 17}$$

Сначала упростим её до более удобного вида. Перепишем числитель и знаменатель:

$$y = \frac{4(x — 1)}{(x — 1)^2 + 16}$$

Теперь введём новую переменную:

$$t = \frac{x — 1}{4}$$

Тогда:

$$y = \frac{4(x — 1)}{(x — 1)^2 + 16} = \frac{1}{t + \frac{1}{t}}$$

Задача сводится к анализу функции $y = t + \frac{1}{t}$, где $t = \frac{x — 1}{4}$.

Исследование функции $y = t + \frac{1}{t}$:

Для $t > 0$:

• Минимальное значение функции достигается при $t = 1$, где:

$$y_{\text{наим}} = 2$$

Для $t < 0$:

• Минимальное значение будет при $t = -1$, где:

$$y_{\text{наиб}} = -2$$

Подставим в дробь $y = \frac{1}{t + \frac{1}{t}}$:

Для $t > 0$, минимальное значение будет при $t = 1$, и:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{1}{2} = 0.5$$

Для $t < 0$, минимальное значение будет при $t = -1$, и:

$$y_{\text{наим}} = \frac{1}{-2} = -0.5$$

Ответ для части б:

$$y_{\text{наиб}} = 0.5, \quad y_{\text{наим}} = -0.5$$

в)

Функция:

$$y = \frac{10x}{x^2 + 4}$$

Тоже попробуем преобразовать её в более удобный вид для анализа. Разделим числитель и знаменатель:

$$y = \frac{\frac{10x}{2x}}{\frac{x^2}{2x} + \frac{4}{2x}} = \frac{5}{t + \frac{1}{t}}, \quad \text{где} \quad t = \frac{x}{2}$$

Теперь задача сводится к анализу функции $y = t + \frac{1}{t}$.

Исследование функции $y = t + \frac{1}{t}$:

Для $t > 0$:

• Минимальное значение функции будет при $t = 1$, где:

$$y_{\text{наим}} = 2$$

Для $t < 0$:

• Минимальное значение будет при $t = -1$, где:

$$y_{\text{наиб}} = -2$$

Подставим в дробь $y = \frac{5}{t + \frac{1}{t}}$:

Для $t > 0$, минимальное значение будет при $t = 1$, и:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{5}{2} = 2.5$$

Для $t < 0$, минимальное значение будет при $t = -1$, и:

$$y_{\text{наим}} = \frac{5}{-2} = -2.5$$

Ответ для части в:

$$y_{\text{наиб}} = 2.5, \quad y_{\text{наим}} = -2.5$$

г)

Функция:

$$y = \frac{49(x — 2)}{x^2 — 4x + 53}$$

Преобразуем её так же, как и в предыдущих примерах:

$$y = \frac{49(x — 2)}{(x — 2)^2 + 49}$$

Введем новую переменную:

$$t = \frac{x — 2}{7}$$

Тогда:

$$y = \frac{7(x — 2)}{t + \frac{1}{t}}$$

Исследование функции $y = t + \frac{1}{t}$:

Для $t > 0$:

• Минимальное значение функции будет при $t = 1$, где:

$$y_{\text{наим}} = 2$$

Для $t < 0$:

• Минимальное значение будет при $t = -1$, где:

$$y_{\text{наиб}} = -2$$

Подставим в дробь $y = \frac{7}{t + \frac{1}{t}}$:

Для $t > 0$, минимальное значение будет при $t = 1$, и:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{7}{2} = 3.5$$

Для $t < 0$, минимальное значение будет при $t = -1$, и:

$$y_{\text{наим}} = \frac{7}{-2} = -3.5$$

Ответ для части г:

$$y_{\text{наиб}} = 3.5, \quad y_{\text{наим}} = -3.5$$

Итоговые ответы:

а) $y_{\text{наиб}} = 1, \, y_{\text{наим}} = -1$

б) $y_{\text{наиб}} = 0.5, \, y_{\text{наим}} = -0.5$

в) $y_{\text{наиб}} = 2.5, \, y_{\text{наим}} = -2.5$

г) $y_{\text{наиб}} = 3.5, \, y_{\text{наим}} = -3.5$