ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите:

а) если каждая из двух функций возрастает на промежутке X, то их сумма также возрастает на этом промежутке;

б) если каждая из двух функций убывает на промежутке X, то их сумма также убывает на этом промежутке.

а) Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ возрастают на промежутке $X$, тогда функция $y = f(x) + g(x)$ также возрастает на $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$\{\begin{array}{l}f(x_2)>f(x_1)\\ g(x_2)>g(x_1)\end{array}+$$

$$\begin{cases} f(x_2) > f(x_1) \\ g(x_2) > g(x_1) \end{cases} +$$ $$f(x_2)+g(x_2)>f(x_1)+g(x_1);$$

$$f(x_2) + g(x_2) > f(x_1) + g(x_1);$$ $$y(x_2) > y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

б) Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ убывают на промежутке $X$, тогда функция $y = f(x) + g(x)$ также убывает на $X$;

Пусть $x_2 > x_1$, тогда:

$$\{\begin{array}{l}f(x_2)<f(x_1)\\ g(x_2)<g(x_1)\end{array}+$$

$$\begin{cases} f(x_2) < f(x_1) \\ g(x_2) < g(x_1) \end{cases} +$$ $$f(x_2)+g(x_2)<f(x_1)+g(x_1);$$

$$f(x_2) + g(x_2) < f(x_1) + g(x_1);$$ $$y(x_2) < y(x_1);$$

Что и требовалось доказать.

а) Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ возрастают на промежутке $X$, тогда функция $y = f(x) + g(x)$ также возрастает на $X$.

Доказательство:

Условие роста функций:
Пусть $f(x)$ и $g(x)$ возрастают на промежутке $X$. Это означает, что для любых двух точек $x_1, x_2 \in X$ с $x_2 > x_1$ выполняются неравенства:

$$f(x_2) > f(x_1) \quad \text{и} \quad g(x_2) > g(x_1).$$

Анализ суммы функций:
Рассмотрим функцию $y(x) = f(x) + g(x)$ на том же промежутке $X$. Мы хотим показать, что $y(x)$ возрастает на этом промежутке.

Пусть $x_2 > x_1$:
Тогда для $y(x) = f(x) + g(x)$ имеем:

$$y(x_2) = f(x_2) + g(x_2) \quad \text{и} \quad y(x_1) = f(x_1) + g(x_1).$$

Используем условие, что функции $f(x)$ и $g(x)$ возрастают:

$$f(x_2) > f(x_1) \quad \text{и} \quad g(x_2) > g(x_1).$$

Сложим неравенства:
Так как оба неравенства выполняются, сложим их:

$$f(x_2) + g(x_2) > f(x_1) + g(x_1).$$

Таким образом:

$$y(x_2) > y(x_1).$$

Заключение:
Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in X$, где $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $y(x_2) > y(x_1)$. Это и означает, что функция $y = f(x) + g(x)$ возрастает на промежутке $X$.

Таким образом, мы доказали, что если $f(x)$ и $g(x)$ возрастают на $X$, то и функция $y = f(x) + g(x)$ также будет возрастать на $X$.

б) Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ убывают на промежутке $X$, тогда функция $y = f(x) + g(x)$ также убывает на $X$.

Доказательство:

Условие убывания функций:
Пусть $f(x)$ и $g(x)$ убывают на промежутке $X$. Это означает, что для любых двух точек $x_1, x_2 \in X$ с $x_2 > x_1$ выполняются неравенства:

$$f(x_2) < f(x_1) \quad \text{и} \quad g(x_2) < g(x_1).$$

Анализ суммы функций:
Рассмотрим функцию $y(x) = f(x) + g(x)$ на том же промежутке $X$. Мы хотим показать, что $y(x)$ убывает на этом промежутке.

Пусть $x_2 > x_1$:
Тогда для $y(x) = f(x) + g(x)$ имеем:

$$y(x_2) = f(x_2) + g(x_2) \quad \text{и} \quad y(x_1) = f(x_1) + g(x_1).$$

Используем условие, что функции $f(x)$ и $g(x)$ убывают:

$$f(x_2) < f(x_1) \quad \text{и} \quad g(x_2) < g(x_1).$$

Сложим неравенства:
Так как оба неравенства выполняются, сложим их:

$$f(x_2) + g(x_2) < f(x_1) + g(x_1).$$

Таким образом:

$$y(x_2) < y(x_1).$$

Заключение:
Мы показали, что для любых $x_1, x_2 \in X$, где $x_2 > x_1$, выполняется неравенство $y(x_2) < y(x_1)$. Это и означает, что функция $y = f(x) + g(x)$ убывает на промежутке $X$.

Таким образом, мы доказали, что если $f(x)$ и $g(x)$ убывают на $X$, то и функция $y = f(x) + g(x)$ будет убывать на $X$.