ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции для каждого значения параметра а:

а) у = x² — 4x на отрезке [-1; o];

б) у = -x² + 2x — 3 на отрезке [а; 3].

а) $y = x^2 — 4x$ на отрезке $[-1; a]$

Абсцисса вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2;$$

Значения функции:

$$y(-1) = (-1)^2 — 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5;$$ $$y(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4;$$ $$y(a) = a^2 — 4a;$$

Решим неравенство:

$$a^2 — 4a > 5;$$ $$a^2 — 4a — 5 > 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 5 = 16 + 20 = 36, \text{ тогда:}$$ $$a_1 = \frac{4 — 6}{2} = -1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5;$$ $$(a + 1)(a — 5) > 0;$$ $$a < -1 \quad \text{и} \quad a > 5;$$

Ответ: если $-1 < a \leq 2$, тогда $y_{\text{наиб}} = 5$ и $y_{\text{наим}} = a^2 — 4a$;
если $2 < a \leq 5$, тогда $y_{\text{наиб}} = 5$ и $y_{\text{наим}} = -4$;
если $a > 5$, тогда $y_{\text{наиб}} = a^2 — 4a$ и $y_{\text{наим}} = -4$.

б) $y = -x^2 + 2x — 3$ на отрезке $[a; 3]$

Абсцисса вершины параболы:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1;$$

Значения функции:

$$y(a) = -a^2 + 2a — 3;$$ $$y(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 — 3 = -1 + 2 — 3 = -2;$$ $$y(3) = -3^2 + 2 \cdot 3 — 3 = -9 + 6 — 3 = -6;$$

Решим неравенство:

$$-a^2 + 2a — 3 < -6;$$ $$a^2 — 2a — 3 > 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}$$ $$a_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$ $$(a + 1)(a — 3) > 0;$$ $$a < -1 \quad \text{и} \quad a > 3;$$

Ответ: если $a < -1$, тогда $y_{\text{наиб}} = -2$ и $y_{\text{наим}} = -a^2 + 2a — 3$;
если $-1 \leq a < 1$, тогда $y_{\text{наиб}} = -2$ и $y_{\text{наим}} = -6$;
если $1 \leq a < 3$, тогда $y_{\text{наиб}} = -a^2 + 2a — 3$ и $y_{\text{наим}} = -6$.

а) $y = x^2 — 4x$ на отрезке $[-1; a]$

1) Абсцисса вершины параболы

Функция $y = x^2 — 4x$ является квадратичной функцией, где $a = 1$ и $b = -4$. Для нахождения абсциссы вершины параболы применяем формулу для абсциссы вершины:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

Значит, абсцисса вершины параболы находится в точке $x_0 = 2$.

2) Оценим значения функции

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в точке вершины (если она попадает в рассматриваемый отрезок):

• При $x = -1$:

$$y(-1) = (-1)^2 — 4 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$$

Значение функции при $x = -1$ равно 5.

• При $x = 2$ (вершина параболы):

$$y(2) = 2^2 — 4 \cdot 2 = 4 — 8 = -4$$

Значение функции при $x = 2$ равно -4. Это минимальное значение функции на отрезке, так как парабола открывается вверх.

• При $x = a$ (второй конец отрезка):

$$y(a) = a^2 — 4a$$

Для определения наибольшего и наименьшего значения функции важно решить, какое значение $y(a)$ может быть в зависимости от величины $a$.

3) Решим неравенство для поиска условий для наибольшего значения

Чтобы найти, когда значение функции на отрезке $[-1, a]$ будет максимальным, нужно решить неравенство:

$$y(a) = a^2 — 4a > 5$$

Решаем неравенство:

$$a^2 — 4a — 5 > 0$$

Используем дискриминант для решения квадратного неравенства:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$

Корни уравнения $a^2 — 4a — 5 = 0$ будут равны:

$$a_1 = \frac{-(-4) — \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 — 6}{2} = -1$$ $$a_2 = \frac{-(-4) + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 6}{2} = 5$$

Таким образом, получаем:

$$(a + 1)(a — 5) > 0$$

Решение этого неравенства:

$$a < -1 \quad \text{или} \quad a > 5$$

Это значит, что на отрезке $[-1, a]$ при $a \in (-1, 5)$ наибольшее значение функции $y = 5$ будет достигаться при $x = -1$, а при $a > 5$ наибольшее значение будет на границе отрезка $y(a) = a^2 — 4a$.

4) Результаты для различных значений $a$

Теперь, на основе найденных значений и решения неравенства, рассмотрим различные случаи:

• Если $-1 < a \leq 2$:
  • В этом случае парабола еще не достигает вершины на отрезке, и наибольшее значение функции будет на границе, то есть $y_{\text{наиб}} = 5$ при $x = -1$, а наименьшее значение будет при $x = a$, то есть $y_{\text{наим}} = a^2 — 4a$.
• Если $2 < a \leq 5$:
  • В этом случае вершина параболы $x_0 = 2$ находится в пределах отрезка, и функция достигает минимального значения $y_{\text{наим}} = -4$ при $x = 2$. Наибольшее значение будет также на границе отрезка, то есть $y_{\text{наиб}} = 5$ при $x = -1$.
• Если $a > 5$:
  • В этом случае функция снова начинает возрастать, и наибольшее значение будет достигаться при $x = a$, то есть $y_{\text{наиб}} = a^2 — 4a$, а минимальное значение будет при $x = 2$, то есть $y_{\text{наим}} = -4$.

Ответ:

• Если $-1 < a \leq 2$, тогда $y_{\text{наиб}} = 5$ и $y_{\text{наим}} = a^2 — 4a$;
• Если $2 < a \leq 5$, тогда $y_{\text{наиб}} = 5$ и $y_{\text{наим}} = -4$;
• Если $a > 5$, тогда $y_{\text{наиб}} = a^2 — 4a$ и $y_{\text{наим}} = -4$.

б) $y = -x^2 + 2x — 3$ на отрезке $[a; 3]$

1) Абсцисса вершины параболы

Функция $y = -x^2 + 2x — 3$ также является квадратичной функцией, но с отрицательным коэффициентом при $x^2$, что указывает на то, что парабола открывается вниз. Для нахождения абсциссы вершины параболы используем формулу:

$$x_0 = -\frac{b}{2a}$$

Подставляем значения $a = -1$ и $b = 2$:

$$x_0 = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{2} = 1$$

Таким образом, абсцисса вершины параболы находится в точке $x_0 = 1$.

2) Оценим значения функции

• При $x = a$ (левый конец отрезка):

$$y(a) = -a^2 + 2a — 3$$

• При $x = 1$ (вершина параболы):

$$y(1) = -1^2 + 2 \cdot 1 — 3 = -1 + 2 — 3 = -2$$

Значение функции при $x = 1$ равно -2.

• При $x = 3$ (правый конец отрезка):

$$y(3) = -3^2 + 2 \cdot 3 — 3 = -9 + 6 — 3 = -6$$

Значение функции при $x = 3$ равно -6.

3) Решим неравенство для поиска наибольшего значения

Для поиска максимума функции на отрезке решим неравенство:

$$y(a) = -a^2 + 2a — 3 < -6$$

Преобразуем неравенство:

$$a^2 — 2a — 3 > 0$$

Решаем квадратное неравенство:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$

Корни квадратного уравнения:

$$a_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1$$ $$a_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Таким образом, получаем:

$$(a + 1)(a — 3) > 0$$

Решение этого неравенства:

$$a < -1 \quad \text{или} \quad a > 3$$

4) Результаты для различных значений $a$

• Если $a < -1$:
  • В этом случае наибольшее значение будет в точке $x = 1$, где $y_{\text{наиб}} = -2$. Значение функции при $x = a$ будет выражаться через $y(a) = -a^2 + 2a — 3$.
• Если $-1 \leq a < 1$:
  • Наибольшее значение будет в точке $x = 1$, где $y_{\text{наиб}} = -2$, а наименьшее значение будет при $x = 3$, где $y_{\text{наим}} = -6$.
• Если $1 \leq a < 3$:
  • Наибольшее значение будет в точке $x = a$, где $y_{\text{наиб}} = -a^2 + 2a — 3$, а минимальное значение будет в точке $x = 3$, где $y_{\text{наим}} = -6$.

Ответ:

• Если $a < -1$, тогда $y_{\text{наиб}} = -2$ и $y_{\text{наим}} = -a^2 + 2a — 3$;
• Если $-1 \leq a < 1$, тогда $y_{\text{наиб}} = -2$ и $y_{\text{наим}} = -6$;
• Если $1 \leq a < 3$, тогда $y_{\text{наиб}} = -a^2 + 2a — 3$ и $y_{\text{наим}} = -6$.