ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.33 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Функция $y = \frac{15x^2 + 60}{x^4 — 16}$ определена только для допустимых целых значений $x$; найдите ее наибольшее значение.

б) Функция $y = \frac{14x^2 + 126}{81 — x^4}$ определена только для допустимых целых значений $x$; найдите ее наименьшее значение.

а) $y = \frac{15x^2 + 60}{x^4 — 16} = \frac{15(x^2 + 4)}{(x^2 + 4)(x^2 — 4)} = \frac{15}{x^2 — 4},$ где $x \in \mathbb{Z};$

Наименьшее положительное значение $x$:
$x^2 — 4 > 0;$
$(x + 2)(x — 2) > 0;$
$x < -2 \text{ и } x > 2;$
$x = 3;$

Наибольшее значение дроби:
$y_{\text{наиб}} = \frac{15}{3^2 — 4} = \frac{15}{9 — 4} = \frac{15}{5} = 3;$
Ответ: 3.

б) $y = \frac{14x^2 + 126}{81 — x^4} = \frac{14(x^2 + 9)}{(9 — x^2)(9 + x^2)} = \frac{14}{9 — x^2},$ где $x \in \mathbb{Z};$

Наибольшее отрицательное значение $x$:
$9 — x^2 < 0;$
$(3 — x)(3 + x) < 0;$
$(x + 3)(x — 3) > 0;$
$x < -3 \text{ и } x > 3;$
$x = -4;$

Наименьшее значение дроби:
$y_{\text{наим}} = \frac{14}{9 — (-4)^2} = \frac{14}{9 — 16} = \frac{14}{-7} = -2;$
Ответ: $-2$.

а) $y = \frac{15x^2 + 60}{x^4 — 16}$

Разложение числителя и знаменателя:

Рассмотрим исходное выражение:

$$y = \frac{15x^2 + 60}{x^4 — 16}.$$

В числителе можно выделить общий множитель 15:

$$15x^2 + 60 = 15(x^2 + 4).$$

В знаменателе $x^4 — 16$ — это разность квадратов:

$$x^4 — 16 = (x^2 — 4)(x^2 + 4).$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$y = \frac{15(x^2 + 4)}{(x^2 — 4)(x^2 + 4)}.$$

Сокращаем $x^2 + 4$ в числителе и знаменателе:

$$y = \frac{15}{x^2 — 4}.$$

Таким образом, $y = \frac{15}{x^2 — 4}$, где $x \in \mathbb{Z}$.

Нахождение наименьшего положительного значения $x$:

Рассмотрим неравенство, которое должно выполняться для того, чтобы дробь имела смысл, то есть знаменатель не должен равняться нулю:

$$x^2 — 4 \neq 0.$$

Это неравенство можно решить:

$$x^2 \neq 4 \quad \Rightarrow \quad x \neq \pm 2.$$

Далее определим, при каких значениях $x$ выражение $y = \frac{15}{x^2 — 4}$ будет положительным. Для этого изучим знак знаменателя:

$$x^2 — 4 > 0.$$

Это неравенство можно факторизовать:

$$(x + 2)(x — 2) > 0.$$

Чтобы решить это неравенство, воспользуемся методом интервалов. Рассмотрим знаки произведения $(x + 2)(x — 2)$:

• Когда $x < -2$, оба множителя отрицательны, и произведение положительно.
• Когда $-2 < x < 2$, один множитель положителен, а другой — отрицателен, произведение отрицательно.
• Когда $x > 2$, оба множителя положительны, и произведение положительно.

Таким образом, неравенство $(x + 2)(x — 2) > 0$ выполняется при $x < -2$ и $x > 2$. Мы ищем наименьшее положительное значение $x$, то есть $x > 2$. Наименьшее целое положительное значение $x$ — это $x = 3$.

Нахождение наибольшего значения дроби $y$:

Теперь вычислим наибольшее значение выражения $y = \frac{15}{x^2 — 4}$, подставив $x = 3$, поскольку это наименьшее положительное значение $x$:

$$y_{\text{наиб}} = \frac{15}{3^2 — 4} = \frac{15}{9 — 4} = \frac{15}{5} = 3.$$

Таким образом, наибольшее значение дроби $y$ равно $3$.

Ответ: $3$.

б) $y = \frac{14x^2 + 126}{81 — x^4}$

Разложение числителя и знаменателя:

Рассмотрим выражение:

$$y = \frac{14x^2 + 126}{81 — x^4}.$$

В числителе можно вынести общий множитель 14:

$$14x^2 + 126 = 14(x^2 + 9).$$

В знаменателе $81 — x^4$ также разность квадратов:

$$81 — x^4 = (9 — x^2)(9 + x^2).$$

Таким образом, выражение примет вид:

$$y = \frac{14(x^2 + 9)}{(9 — x^2)(9 + x^2)}.$$

Сокращаем $x^2 + 9$ в числителе и знаменателе:

$$y = \frac{14}{9 — x^2}.$$

Таким образом, $y = \frac{14}{9 — x^2}$, где $x \in \mathbb{Z}$.

Нахождение наибольшего отрицательного значения $x$:

Рассмотрим, при каких значениях $x$ выражение $y = \frac{14}{9 — x^2}$ будет отрицательным. Для этого знаменатель должен быть отрицателен:

$$9 — x^2 < 0.$$

Это неравенство можно решить:

$$x^2 > 9 \quad \Rightarrow \quad |x| > 3.$$

Таким образом, $x$ должно быть меньше $-3$ или больше $3$. Для нахождения наибольшего отрицательного значения $x$ ищем наибольшее целое отрицательное значение $x$, которое удовлетворяет условию $x < -3$. Это значение — $x = -4$.

Нахождение наименьшего значения дроби $y$:

Теперь вычислим наименьшее значение выражения $y = \frac{14}{9 — x^2}$, подставив $x = -4$, поскольку это наибольшее отрицательное значение $x$:

$$y_{\text{наим}} = \frac{14}{9 — (-4)^2} = \frac{14}{9 — 16} = \frac{14}{-7} = -2.$$

Таким образом, наименьшее значение дроби $y$ равно $-2$.

Ответ: $-2$.