ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.34 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите теорему: если функции $y = f(x)$, $y = g(x)$ определены на множестве $X$ и наибольшее значение одной из этих функций на $X$, равное $A$, совпадает с наименьшим значением другой функции на том же множестве, то уравнение $f(x) = g(x)$ равносильно на $X$ системе уравнений

$$\begin{cases} f(x) = A, \\ g(x) = A. \end{cases}$$

Если функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$ определены на множестве $X$ и наибольшее значение одной из функций на $X$, равное $A$, совпадает с наименьшим значением другой функции на том же множестве, то уравнение $f(X) = g(x)$ равносильно на $X$ системе уравнений:

$$\begin{cases} f(x) = A, \\ g(x) = A; \end{cases}$$

Для любых значений $x \in X$ выполняются неравенства:

$$\begin{cases} f(x) \leq A \\ g(x) \geq A \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} f(x) \geq A \\ g(x) \leq A. \end{cases}$$

Значит равенство может выполняться только при:

$$f(x) = g(x) = A;$$

Что равносильно системе:

$$\begin{cases} f(x) = A, \\ g(x) = A; \end{cases}$$

Что и требовалось доказать.

Мы рассматриваем две функции $y = f(x)$ и $y = g(x)$, определенные на множестве $X$. Необходимо доказать, что если наибольшее значение одной из функций на $X$, равное $A$, совпадает с наименьшим значением другой функции на том же множестве, то уравнение $f(x) = g(x)$ на $X$ эквивалентно системе уравнений:

$$\begin{cases} f(x) = A, \\ g(x) = A; \end{cases}$$

Шаг 1: Условие максимума и минимума.

Предположим, что наибольшее значение функции $f(x)$ на множестве $X$ равно $A$, а наименьшее значение функции $g(x)$ на том же множестве также равно $A$.

Это означает, что для всех $x \in X$ выполняются следующие неравенства:

$$f(x) \leq A \quad \text{и} \quad g(x) \geq A.$$

Также наибольшее значение функции $f(x)$ (равное $A$) означает, что существует хотя бы одно значение $x_0 \in X$, при котором:

$$f(x_0) = A.$$

Аналогично, наименьшее значение функции $g(x)$ (равное $A$) означает, что существует хотя бы одно значение $x_1 \in X$, при котором:

$$g(x_1) = A.$$

Итак, функции $f(x)$ и $g(x)$ достигают своих экстремальных значений, равных $A$, на множестве $X$.

Шаг 2: Важное следствие для неравенств.

Для всех $x \in X$ выполняются два возможных случая:

1. $f(x) \leq A$ и $g(x) \geq A$, или
2. $f(x) \geq A$ и $g(x) \leq A$.

Эти неравенства дают нам информацию о том, как функции $f(x)$ и $g(x)$ могут взаимодействовать на множестве $X$.

Шаг 3: Условия для равенства.

Теперь давайте рассмотрим случай, когда равенство может иметь место. Мы знаем, что функции $f(x)$ и $g(x)$ достигают наибольшего и наименьшего значений, равных $A$, на множестве $X$.

Следовательно, для того чтобы равенство $f(x) = g(x)$ выполнялось, обе функции должны быть равны $A$ одновременно:

$$f(x) = A \quad \text{и} \quad g(x) = A.$$

Таким образом, равенство $f(x) = g(x)$ возможно только в том случае, если оба выражения равны $A$.

Шаг 4: Система уравнений.

Мы пришли к выводу, что для того, чтобы $f(x) = g(x)$, обе функции должны принимать значение $A$. Это выражается в виде следующей системы уравнений:

$$\begin{cases} f(x) = A, \\ g(x) = A; \end{cases}$$

Таким образом, уравнение $f(x) = g(x)$ эквивалентно системе уравнений, где обе функции равны $A$.

Шаг 5: Заключение.

Мы доказали, что если наибольшее значение функции $f(x)$ на множестве $X$, равное $A$, совпадает с наименьшим значением функции $g(x)$ на том же множестве, то уравнение $f(x) = g(x)$ эквивалентно системе:

$$\begin{cases} f(x) = A, \\ g(x) = A. \end{cases}$$

Это и требовалось доказать.