ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.37 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) $y=\frac{x^2}{1+x}+\frac{x^2}{1-x}$

б) $y=\sqrt{x^2+2x-3}+\sqrt{x^2-2x-3}$

в) $y=\frac{x^2}{1+x}-\frac{x^2}{1-x}$

г) $y=\sqrt{x^2+2x-3}-\sqrt{x^2-2x-3}$

а) $y=\frac{x^2}{1+x}+\frac{x^2}{1-x}$

Область определения функции:

$$1+x\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-1;$$$$1-x\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }1;$$$$D(f)=(-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\mathrm{\infty });$$

Исследуем функцию на четность:

$$y(-x)=\frac{(-x{)}^2}{1+(-x)}+\frac{(-x{)}^2}{1-(-x)}=\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^2}{1+x}=y(x);$$

Ответ: четная.

б) $y=\sqrt{x^2+2x-3}+\sqrt{x^2-2x-3}$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2+2x-3\ge 0;$$$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\text{и}{x}_2=\frac{-2+4}{2}=1;$$$$(x+3)(x-1)\ge 0;$$$$x\le -3\text{и}x\ge 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2-2x-3\ge 0;$$$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{2+4}{2}=3;$$$$(x+1)(x-3)\ge 0;$$$$x\le -1\text{и}x\ge 3;$$

Область определения функции:

$$D(f)=(-\mathrm{\infty };-3]\cup [3;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Исследуем функцию на четность:

$$y(-x)=\sqrt{(-x{)}^2+2(-x)-3}+\sqrt{(-x{)}^2-2(-x)-3};$$$$y(-x)=\sqrt{x^2-2x-3}+\sqrt{x^2+2x-3}=y(x);$$

Ответ: четная.

в) $y=\frac{x^2}{1+x}-\frac{x^2}{1-x}$

Область определения функции:

$$1+x\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-1;$$$$1-x\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }1;$$$$D(f)=(-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\mathrm{\infty });$$

Исследуем функцию на четность:

$$y(-x)=\frac{(-x{)}^2}{1+(-x)}-\frac{(-x{)}^2}{1-(-x)}=\frac{x^2}{1-x}-\frac{x^2}{1+x}=-y(x);$$

Ответ: нечетная.

г) $y=\sqrt{x^2+2x-3}-\sqrt{x^2-2x-3}$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2+2x-3\ge 0;$$$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\text{и}{x}_2=\frac{-2+4}{2}=1;$$$$(x+3)(x-1)\ge 0;$$$$x\le -3\text{и}x\ge 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2-2x-3\ge 0;$$$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{ тогда: }$$$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{2+4}{2}=3;$$$$(x+1)(x-3)\ge 0;$$$$x\le -1\text{и}x\ge 3;$$

Область определения функции:

$$D(f)=(-\mathrm{\infty };-3]\cup [3;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

Исследуем функцию на четность:

$$y(-x)=\sqrt{(-x{)}^2+2(-x)-3}-\sqrt{(-x{)}^2-2(-x)-3};$$$$y(-x)=\sqrt{x^2-2x-3}-\sqrt{x^2+2x-3}=-y(x);$$

Ответ: нечетная.

а) $y=\frac{x^2}{1+x}+\frac{x^2}{1-x}$

1) Область определения функции

Для того чтобы определить область определения функции, необходимо, чтобы знаменатели в каждом из членов выражения были ненулевые. Рассмотрим два выражения:

• Для первого выражения $\frac{x^2}{1+x}$ знаменатель $1+x$ не должен быть равен нулю:$$1+x\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }-1.$$
• Для второго выражения $\frac{x^2}{1-x}$ знаменатель $1-x$ не должен быть равен нулю:$$1-x\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }1.$$

Таким образом, область определения функции будет:

$$D(f)=(-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

2) Исследование функции на четность

Для проверки четности функции нужно вычислить $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$. Проверим это для нашей функции:

$$y(-x)=\frac{(-x{)}^2}{1+(-x)}+\frac{(-x{)}^2}{1-(-x)}=\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^2}{1+x}\mathrm{.}$$

Заметим, что:

$$y(-x)=\frac{x^2}{1-x}+\frac{x^2}{1+x}=y(x)\mathrm{.}$$

Так как $y(-x)=y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

б) $y=\sqrt{x^2+2x-3}+\sqrt{x^2-2x-3}$

1) Область определения функции для первого корня

Чтобы определить область определения, необходимо, чтобы выражение под каждым из корней было неотрицательным.

Для первого корня $\sqrt{x^2+2x-3}$ выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$x^2+2x-3\ge 0.$$

Решим это неравенство. Для этого сначала находим корни соответствующего квадратного уравнения:

$$x^2+2x-3=0\Rightarrow x=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\frac{-2\pm \sqrt{4+12}}{2}=$$

$$=\frac{-2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm 4}{2}\mathrm{.}$$

Корни:

$$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3\text{и}{x}_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$

Итак, $x^2+2x-3\ge 0$ на интервалах:

$$x\le -3\text{или}x\ge 1.$$

2) Область определения функции для второго корня

Для второго корня $\sqrt{x^2-2x-3}$ выражение под корнем также должно быть неотрицательным:

$$x^2-2x-3\ge 0.$$

Решим это неравенство. Для этого находим корни соответствующего квадратного уравнения:

$$x^2-2x-3=0\Rightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)}}{2\cdot 1}=\frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}=$$

$$=\frac{2\pm \sqrt{16}}{2}=\frac{2\pm 4}{2}\mathrm{.}$$

Корни:

$$x_1=\frac{2-4}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{2+4}{2}=3.$$

Итак, $x^2-2x-3\ge 0$ на интервалах:

$$x\le -1\text{или}x\ge 3.$$

3) Общая область определения

Область определения функции будет пересечением двух интервалов:

$$D(f)=(-\mathrm{\infty };-3]\cup [3;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

4) Исследование функции на четность

Проверим четность функции. Для этого нужно вычислить $y(-x)$ и сравнить его с $y(x)$.

$$y(-x)=\sqrt{(-x{)}^2+2(-x)-3}+\sqrt{(-x{)}^2-2(-x)-3}=$$

$$=\sqrt{x^2-2x-3}+\sqrt{x^2+2x-3}\mathrm{.}$$

Мы видим, что:

$$y(-x)=\sqrt{x^2-2x-3}+\sqrt{x^2+2x-3}=y(x)\mathrm{.}$$

Так как $y(-x)=y(x)$, функция является четной.

Ответ: четная.

в) $y=\frac{x^2}{1+x}-\frac{x^2}{1-x}$

1) Область определения функции

Аналогично предыдущему пункту, для того чтобы функция была определена, знаменатели не должны быть равны нулю.

• Для первого выражения $\frac{x^2}{1+x}$, знаменатель $1+x\mathrm{\ne }0$, следовательно, $x\mathrm{\ne }-1$.
• Для второго выражения $\frac{x^2}{1-x}$, знаменатель $1-x\mathrm{\ne }0$, следовательно, $x\mathrm{\ne }1$.

Область определения функции будет:

$$D(f)=(-\mathrm{\infty };-1)\cup (-1;1)\cup (1;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

2) Исследование функции на четность

Теперь проверим четность функции. Для этого вычислим $y(-x)$ и сравним с $y(x)$.

$$y(-x)=\frac{(-x{)}^2}{1+(-x)}-\frac{(-x{)}^2}{1-(-x)}=\frac{x^2}{1-x}-\frac{x^2}{1+x}\mathrm{.}$$

Мы видим, что:

$$y(-x)=-y(x),$$

что означает, что функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

г) $y=\sqrt{x^2+2x-3}-\sqrt{x^2-2x-3}$

1) Область определения функции для первого корня

Аналогично предыдущему, выражение под первым корнем должно быть неотрицательным:

$$x^2+2x-3\ge 0.$$

Мы уже решали это неравенство:

$$x\le -3\text{или}x\ge 1.$$

2) Область определения функции для второго корня

Выражение под вторым корнем также должно быть неотрицательным:

$$x^2-2x-3\ge 0.$$

Решение аналогично:

$$x\le -1\text{или}x\ge 3.$$

3) Общая область определения

Общая область определения будет пересечением двух интервалов:

$$D(f)=(-\mathrm{\infty };-3]\cup [3;+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$

4) Исследование функции на четность

Проверим четность функции. Для этого нужно вычислить $y(-x)$ и сравнить с $y(x)$.

$$y(-x)=\sqrt{(-x{)}^2+2(-x)-3}-\sqrt{(-x{)}^2-2(-x)-3}=$$

$$=\sqrt{x^2-2x-3}-\sqrt{x^2+2x-3}\mathrm{.}$$

Мы видим, что:

$$y(-x)=-y(x),$$

что означает, что функция является нечетной.

Ответ: нечетная.

Итог:

а) четная.

б) четная.

в) нечетная.

г) нечетная.