ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 8.39 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что функция является нечетной:

$$y=\{\begin{array}{ll}{x}^4-2x^2+\frac{17}{x+2},& \text{если }x<0\text{ и }x\mathrm{\ne }-2\\ 2x^2-x^4+\frac{17}{x-2},& \text{если }x>0\text{ и }x\mathrm{\ne }2\end{array}$$

Доказать, что функция является нечетной:

$$y = \begin{cases} x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+2}, & \text{если } x < 0 \text{ и } x \neq -2 \\ 2x^2 — x^4 + \frac{17}{x-2}, & \text{если } x > 0 \text{ и } x \neq 2 \end{cases};$$

Если $x < 0$ и $x \neq -2$, тогда:

$$(-x) > 0 \text{ и } (-x) \neq 2:$$ $$y(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 + \frac{17}{-x+2};$$ $$y(-x) = -x^2 + x^4 — \frac{17}{x-2} = -y(x), \text{где } x > 0;$$

Если $x > 0$ и $x \neq 2$, тогда:

$$(-x) < 0 \text{ и } (-x) \neq -2;$$ $$y(-x) = 2(-x)^2 — (-x)^4 + \frac{17}{-x-2};$$ $$y(-x) = -x^4 + 2x^2 — \frac{17}{x+2} = -y(x), \text{где } x < 0;$$

Таким образом, данная функция является нечетной, что и требовалось доказать.

Необходимо доказать, что функция:

$$y = \begin{cases} x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+2}, & \text{если } x < 0 \text{ и } x \neq -2, \\ 2x^2 — x^4 + \frac{17}{x-2}, & \text{если } x > 0 \text{ и } x \neq 2 \end{cases};$$

является нечетной.

Шаг 1. Определение нечетной функции

Функция считается нечетной, если выполняется условие:

$$f(-x) = -f(x) \quad \text{для всех} \quad x \in D(f).$$

То есть, необходимо показать, что для каждого $x$, для которого функция определена, выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$.

Шаг 2. Рассмотрим случай $x < 0$ и $x \neq -2$

Если $x < 0$, то по определению функции для $x < 0$ и $x \neq -2$ имеем:

$$y(x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+2}.$$

Теперь необходимо найти выражение для $y(-x)$ при $x < 0$. Поскольку $-x > 0$, то по определению функции для $x > 0$ и $x \neq 2$ имеем:

$$y(-x) = 2(-x)^2 — (-x)^4 + \frac{17}{-x-2}.$$

Преобразуем каждое слагаемое:

$$y(-x) = 2x^2 — x^4 + \frac{17}{-x-2}.$$

Теперь, сравним $y(-x)$ с $-y(x)$:

$$-y(x) = -(x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+2}) = -x^4 + 2x^2 — \frac{17}{x+2}.$$

Таким образом, мы видим, что:

$$y(-x) = 2x^2 — x^4 + \frac{17}{-x-2} = -x^4 + 2x^2 — \frac{17}{x+2} = -y(x),$$

где в последнем равенстве использован факт, что $\frac{17}{-x-2} = -\frac{17}{x+2}$, так как $x < 0$.

Итак, для $x < 0$ и $x \neq -2$ мы доказали, что:

$$y(-x) = -y(x).$$

Шаг 3. Рассмотрим случай $x > 0$ и $x \neq 2$

Теперь рассмотрим случай, когда $x > 0$ и $x \neq 2$. Для таких значений $x$ по определению функции имеем:

$$y(x) = 2x^2 — x^4 + \frac{17}{x-2}.$$

Теперь необходимо найти выражение для $y(-x)$ при $x > 0$. Поскольку $-x < 0$, то по определению функции для $x < 0$ и $x \neq -2$ имеем:

$$y(-x) = (-x)^4 — 2(-x)^2 + \frac{17}{-x+2}.$$

Преобразуем каждое слагаемое:

$$y(-x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{-x+2}.$$

Теперь, сравним $y(-x)$ с $-y(x)$:

$$-y(x) = -(2x^2 — x^4 + \frac{17}{x-2}) = -2x^2 + x^4 — \frac{17}{x-2}.$$

Таким образом, мы видим, что:

$$y(-x) = x^4 — 2x^2 + \frac{17}{-x+2} = -2x^2 + x^4 — \frac{17}{x-2} = -y(x),$$

где в последнем равенстве использован факт, что $\frac{17}{-x+2} = -\frac{17}{x-2}$, так как $x > 0$.

Итак, для $x > 0$ и $x \neq 2$ мы доказали, что:

$$y(-x) = -y(x).$$

Шаг 4. Вывод

Таким образом, для всех значений $x$, для которых функция определена, выполняется условие $y(-x) = -y(x)$, что означает, что функция является нечетной.

Мы доказали, что функция:

$$y = \begin{cases} x^4 — 2x^2 + \frac{17}{x+2}, & \text{если } x < 0 \text{ и } x \neq -2, \\ 2x^2 — x^4 + \frac{17}{x-2}, & \text{если } x > 0 \text{ и } x \neq 2 \end{cases};$$

является нечетной.